Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100922 / 98906
↖ ↑ ↗
← S 67.163560°
E 97.190552°		 ← 118.54 m → S 67.163560°
E 97.193299°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
S 67.164626°
E 97.190552°		 ← 118.53 m →
14 046 m²		 S 67.164626°
E 97.193299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769977569580078 y=0.754596710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769977569580078 × 217)
    floor (0.769977569580078 × 131072)
    floor (100922.5)     		tx = 100922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754596710205078 × 217)
    floor (0.754596710205078 × 131072)
    floor (98906.5)     		ty = 98906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100922 / 98906 ti = "17/100922/98906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100922/98906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100922 ÷ 217
    100922 ÷ 131072     		x = 0.769973754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98906 ÷ 217
    98906 ÷ 131072     		y = 0.754592895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769973754882812 × 2 - 1) × π
    0.539947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69629513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754592895507812 × 2 - 1) × π
    -0.509185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59965434032127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69629513} λ = 1.69629513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59965434032127))-π/2
    2×atan(0.201966317542951)-π/2
    2×0.199285532873247-π/2
    0.398571065746494-1.57079632675     		φ = -1.17222526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69629513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.190552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17222526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.163560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100922 KachelY 98906 1.69629513 -1.17222526 97.190552 -67.163560
    Oben rechts KachelX + 1 100923 KachelY 98906 1.69634307 -1.17222526 97.193299 -67.163560
    Unten links KachelX 100922 KachelY + 1 98907 1.69629513 -1.17224386 97.190552 -67.164626
    Unten rechts KachelX + 1 100923 KachelY + 1 98907 1.69634307 -1.17224386 97.193299 -67.164626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17222526--1.17224386) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17222526--1.17224386) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69629513-1.69634307) × cos(-1.17222526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388101810551412 × 6371000     		do = 118.536282682927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69629513-1.69634307) × cos(-1.17224386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388084668417262 × 6371000     		du = 118.531047033919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17222526)-sin(-1.17224386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388101810551412-0.388084668417262)×R²
    abs(1.69634307-1.69629513)×1.71421341496614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71421341496614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71421341496614e-05×40589641000000     		ar = 14046.3104062176m²