Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100921 / 98959
↖ ↑ ↗
← S 67.219990°
E 97.187805°		 ← 118.26 m → S 67.219990°
E 97.190552°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
S 67.221053°
E 97.187805°		 ← 118.25 m →
13 983 m²		 S 67.221053°
E 97.190552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769969940185547 y=0.755001068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769969940185547 × 217)
    floor (0.769969940185547 × 131072)
    floor (100921.5)     		tx = 100921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755001068115234 × 217)
    floor (0.755001068115234 × 131072)
    floor (98959.5)     		ty = 98959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100921 / 98959 ti = "17/100921/98959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100921/98959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100921 ÷ 217
    100921 ÷ 131072     		x = 0.769966125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98959 ÷ 217
    98959 ÷ 131072     		y = 0.754997253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769966125488281 × 2 - 1) × π
    0.539932250976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.69624719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754997253417969 × 2 - 1) × π
    -0.509994506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.60219499600114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69624719} λ = 1.69624719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60219499600114))-π/2
    2×atan(0.201453841958813)-π/2
    2×0.198793093170839-π/2
    0.397586186341679-1.57079632675     		φ = -1.17321014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69624719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.187805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17321014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.219990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100921 KachelY 98959 1.69624719 -1.17321014 97.187805 -67.219990
    Oben rechts KachelX + 1 100922 KachelY 98959 1.69629513 -1.17321014 97.190552 -67.219990
    Unten links KachelX 100921 KachelY + 1 98960 1.69624719 -1.17322870 97.187805 -67.221053
    Unten rechts KachelX + 1 100922 KachelY + 1 98960 1.69629513 -1.17322870 97.190552 -67.221053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17321014--1.17322870) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17321014--1.17322870) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69624719-1.69629513) × cos(-1.17321014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387193940806294 × 6371000     		do = 118.258995894201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69624719-1.69629513) × cos(-1.17322870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387176828451289 × 6371000     		du = 118.25376934051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17321014)-sin(-1.17322870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387193940806294-0.387176828451289)×R²
    abs(1.69629513-1.69624719)×1.71123550051777e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71123550051777e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71123550051777e-05×40589641000000     		ar = 13983.3158378373m²