Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100920 / 99045
↖ ↑ ↗
← S 67.311274°
E 97.185059°		 ← 117.79 m → S 67.311274°
E 97.187805°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
S 67.312333°
E 97.185059°		 ← 117.78 m →
13 875 m²		 S 67.312333°
E 97.187805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769962310791016 y=0.755657196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769962310791016 × 217)
    floor (0.769962310791016 × 131072)
    floor (100920.5)     		tx = 100920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755657196044922 × 217)
    floor (0.755657196044922 × 131072)
    floor (99045.5)     		ty = 99045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100920 / 99045 ti = "17/100920/99045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100920/99045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100920 ÷ 217
    100920 ÷ 131072     		x = 0.76995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99045 ÷ 217
    99045 ÷ 131072     		y = 0.755653381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76995849609375 × 2 - 1) × π
    0.5399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69619926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755653381347656 × 2 - 1) × π
    -0.511306762695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.60631756936846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69619926} λ = 1.69619926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60631756936846))-π/2
    2×atan(0.200625043280715)-π/2
    2×0.197996490699802-π/2
    0.395992981399605-1.57079632675     		φ = -1.17480335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69619926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17480335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.311274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100920 KachelY 99045 1.69619926 -1.17480335 97.185059 -67.311274
    Oben rechts KachelX + 1 100921 KachelY 99045 1.69624719 -1.17480335 97.187805 -67.311274
    Unten links KachelX 100920 KachelY + 1 99046 1.69619926 -1.17482184 97.185059 -67.312333
    Unten rechts KachelX + 1 100921 KachelY + 1 99046 1.69624719 -1.17482184 97.187805 -67.312333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17480335--1.17482184) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17480335--1.17482184) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69619926-1.69624719) × cos(-1.17480335) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38572451311683 × 6371000     		do = 117.785620346189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69619926-1.69624719) × cos(-1.17482184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385707453917966 × 6371000     		du = 117.780411114594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17480335)-sin(-1.17482184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38572451311683-0.385707453917966)×R²
    abs(1.69624719-1.69619926)×1.70591988647439e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70591988647439e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70591988647439e-05×40589641000000     		ar = 13874.8145189352m²