Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100920 / 98968
↖ ↑ ↗
← S 67.229559°
E 97.185059°		 ← 118.19 m → S 67.229559°
E 97.187805°		 →
↑
118.18 m
↓
↑
118.18 m
↓
S 67.230622°
E 97.185059°		 ← 118.18 m →
13 967 m²		 S 67.230622°
E 97.187805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769962310791016 y=0.755069732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769962310791016 × 217)
    floor (0.769962310791016 × 131072)
    floor (100920.5)     		tx = 100920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755069732666016 × 217)
    floor (0.755069732666016 × 131072)
    floor (98968.5)     		ty = 98968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100920 / 98968 ti = "17/100920/98968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100920/98968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100920 ÷ 217
    100920 ÷ 131072     		x = 0.76995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98968 ÷ 217
    98968 ÷ 131072     		y = 0.75506591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76995849609375 × 2 - 1) × π
    0.5399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69619926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75506591796875 × 2 - 1) × π
    -0.5101318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60262642809772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69619926} λ = 1.69619926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60262642809772))-π/2
    2×atan(0.201366947051386)-π/2
    2×0.198709585834346-π/2
    0.397419171668692-1.57079632675     		φ = -1.17337716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69619926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17337716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.229559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100920 KachelY 98968 1.69619926 -1.17337716 97.185059 -67.229559
    Oben rechts KachelX + 1 100921 KachelY 98968 1.69624719 -1.17337716 97.187805 -67.229559
    Unten links KachelX 100920 KachelY + 1 98969 1.69619926 -1.17339571 97.185059 -67.230622
    Unten rechts KachelX + 1 100921 KachelY + 1 98969 1.69624719 -1.17339571 97.187805 -67.230622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17337716--1.17339571) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dl = 118.182050000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17337716--1.17339571) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dr = 118.182050000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69619926-1.69624719) × cos(-1.17337716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.387039943251602 × 6371000     		do = 118.187302762466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69619926-1.69624719) × cos(-1.17339571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.387022838917304 × 6371000     		du = 118.182079748223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17337716)-sin(-1.17339571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387039943251602-0.387022838917304)×R²
    abs(1.69624719-1.69619926)×1.71043342978572e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71043342978572e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71043342978572e-05×40589641000000     		ar = 13967.3090914748m²