Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10092 / 2423
↖ ↑ ↗
← N 77.508872°
E 41.748047°		 ← 528.45 m → N 77.508872°
E 41.770020°		 →
↑
528.54 m
↓
↑
528.54 m
↓
N 77.504119°
E 41.748047°		 ← 528.65 m →
279 360 m²		 N 77.504119°
E 41.770020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615997314453125 y=0.147918701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615997314453125 × 214)
    floor (0.615997314453125 × 16384)
    floor (10092.5)     		tx = 10092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147918701171875 × 214)
    floor (0.147918701171875 × 16384)
    floor (2423.5)     		ty = 2423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10092 / 2423 ti = "14/10092/2423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10092/2423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10092 ÷ 214
    10092 ÷ 16384     		x = 0.615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2423 ÷ 214
    2423 ÷ 16384     		y = 0.14788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615966796875 × 2 - 1) × π
    0.23193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72864087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14788818359375 × 2 - 1) × π
    0.7042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21238379126483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72864087} λ = 0.72864087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21238379126483))-π/2
    2×atan(9.13747227859344)-π/2
    2×1.46179067571446-π/2
    2.92358135142892-1.57079632675     		φ = 1.35278502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72864087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.748047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35278502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.508872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10092 KachelY 2423 0.72864087 1.35278502 41.748047 77.508872
    Oben rechts KachelX + 1 10093 KachelY 2423 0.72902437 1.35278502 41.770020 77.508872
    Unten links KachelX 10092 KachelY + 1 2424 0.72864087 1.35270206 41.748047 77.504119
    Unten rechts KachelX + 1 10093 KachelY + 1 2424 0.72902437 1.35270206 41.770020 77.504119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35278502-1.35270206) × R
    8.29600000000763e-05 × 6371000     		dl = 528.538160000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35278502-1.35270206) × R
    8.29600000000763e-05 × 6371000     		dr = 528.538160000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72864087-0.72902437) × cos(1.35278502) × R
    0.000383499999999981 × 0.216288432195662 × 6371000     		do = 528.452876182342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72864087-0.72902437) × cos(1.35270206) × R
    0.000383499999999981 × 0.216369427747516 × 6371000     		du = 528.650770872783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35278502)-sin(1.35270206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216288432195662-0.216369427747516)×R²
    abs(0.72902437-0.72864087)×8.09955518542016e-05×R²
    0.000383499999999981×8.09955518542016e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.09955518542016e-05×40589641000000     		ar = 279359.808432788m²