Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100918 / 97862
↖ ↑ ↗
← S 66.024715°
E 97.179565°		 ← 124.11 m → S 66.024715°
E 97.182312°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
S 66.025831°
E 97.179565°		 ← 124.10 m →
15 402 m²		 S 66.025831°
E 97.182312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769947052001953 y=0.746631622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769947052001953 × 217)
    floor (0.769947052001953 × 131072)
    floor (100918.5)     		tx = 100918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746631622314453 × 217)
    floor (0.746631622314453 × 131072)
    floor (97862.5)     		ty = 97862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100918 / 97862 ti = "17/100918/97862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100918/97862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100918 ÷ 217
    100918 ÷ 131072     		x = 0.769943237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97862 ÷ 217
    97862 ÷ 131072     		y = 0.746627807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769943237304688 × 2 - 1) × π
    0.539886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69610338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746627807617188 × 2 - 1) × π
    -0.493255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54960821711794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69610338} λ = 1.69610338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54960821711794))-π/2
    2×atan(0.212331145241146)-π/2
    2×0.209223828063463-π/2
    0.418447656126927-1.57079632675     		φ = -1.15234867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69610338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.179565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15234867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.024715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100918 KachelY 97862 1.69610338 -1.15234867 97.179565 -66.024715
    Oben rechts KachelX + 1 100919 KachelY 97862 1.69615132 -1.15234867 97.182312 -66.024715
    Unten links KachelX 100918 KachelY + 1 97863 1.69610338 -1.15236815 97.179565 -66.025831
    Unten rechts KachelX + 1 100919 KachelY + 1 97863 1.69615132 -1.15236815 97.182312 -66.025831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15234867--1.15236815) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15234867--1.15236815) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69610338-1.69615132) × cos(-1.15234867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406342534912462 × 6371000     		do = 124.107469419033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69610338-1.69615132) × cos(-1.15236815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406324735553713 × 6371000     		du = 124.102033036716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15234867)-sin(-1.15236815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406342534912462-0.406324735553713)×R²
    abs(1.69615132-1.69610338)×1.77993587490155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77993587490155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77993587490155e-05×40589641000000     		ar = 15402.2782893635m²