Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100912 / 99540
↖ ↑ ↗
← S 67.829983°
E 97.163086°		 ← 115.25 m → S 67.829983°
E 97.165833°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
S 67.831019°
E 97.163086°		 ← 115.25 m →
13 283 m²		 S 67.831019°
E 97.165833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769901275634766 y=0.759433746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769901275634766 × 217)
    floor (0.769901275634766 × 131072)
    floor (100912.5)     		tx = 100912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759433746337891 × 217)
    floor (0.759433746337891 × 131072)
    floor (99540.5)     		ty = 99540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100912 / 99540 ti = "17/100912/99540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100912/99540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100912 ÷ 217
    100912 ÷ 131072     		x = 0.7698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99540 ÷ 217
    99540 ÷ 131072     		y = 0.759429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7698974609375 × 2 - 1) × π
    0.539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69581576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.51885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63004633468039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69581576} λ = 1.69581576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63004633468039))-π/2
    2×atan(0.195920496003031)-π/2
    2×0.193469900244484-π/2
    0.386939800488967-1.57079632675     		φ = -1.18385653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69581576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18385653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.829983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100912 KachelY 99540 1.69581576 -1.18385653 97.163086 -67.829983
    Oben rechts KachelX + 1 100913 KachelY 99540 1.69586370 -1.18385653 97.165833 -67.829983
    Unten links KachelX 100912 KachelY + 1 99541 1.69581576 -1.18387462 97.163086 -67.831019
    Unten rechts KachelX + 1 100913 KachelY + 1 99541 1.69586370 -1.18387462 97.165833 -67.831019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18385653--1.18387462) × R
    1.80900000001927e-05 × 6371000     		dl = 115.251390001228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18385653--1.18387462) × R
    1.80900000001927e-05 × 6371000     		dr = 115.251390001228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69581576-1.69586370) × cos(-1.18385653) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377356229670334 × 6371000     		do = 115.25430569113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69581576-1.69586370) × cos(-1.18387462) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377339477035196 × 6371000     		du = 115.249189005146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18385653)-sin(-1.18387462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377356229670334-0.377339477035196)×R²
    abs(1.69586370-1.69581576)×1.67526351387837e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67526351387837e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67526351387837e-05×40589641000000     		ar = 13282.924082393m²