Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100912 / 99312
↖ ↑ ↗
← S 67.592475°
E 97.163086°		 ← 116.43 m → S 67.592475°
E 97.165833°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
S 67.593522°
E 97.163086°		 ← 116.42 m →
13 551 m²		 S 67.593522°
E 97.165833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769901275634766 y=0.757694244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769901275634766 × 217)
    floor (0.769901275634766 × 131072)
    floor (100912.5)     		tx = 100912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757694244384766 × 217)
    floor (0.757694244384766 × 131072)
    floor (99312.5)     		ty = 99312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100912 / 99312 ti = "17/100912/99312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100912/99312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100912 ÷ 217
    100912 ÷ 131072     		x = 0.7698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99312 ÷ 217
    99312 ÷ 131072     		y = 0.7576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7698974609375 × 2 - 1) × π
    0.539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69581576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.515380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61911672156702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69581576} λ = 1.69581576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61911672156702))-π/2
    2×atan(0.198073575957547)-π/2
    2×0.195542544680507-π/2
    0.391085089361013-1.57079632675     		φ = -1.17971124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69581576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17971124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.592475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100912 KachelY 99312 1.69581576 -1.17971124 97.163086 -67.592475
    Oben rechts KachelX + 1 100913 KachelY 99312 1.69586370 -1.17971124 97.165833 -67.592475
    Unten links KachelX 100912 KachelY + 1 99313 1.69581576 -1.17972951 97.163086 -67.593522
    Unten rechts KachelX + 1 100913 KachelY + 1 99313 1.69586370 -1.17972951 97.165833 -67.593522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17971124--1.17972951) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17971124--1.17972951) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69581576-1.69586370) × cos(-1.17971124) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.381191797714113 × 6371000     		do = 116.425786899226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69581576-1.69586370) × cos(-1.17972951) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.381174907108976 × 6371000     		du = 116.420628073653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17971124)-sin(-1.17972951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381191797714113-0.381174907108976)×R²
    abs(1.69586370-1.69581576)×1.68906051368212e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68906051368212e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68906051368212e-05×40589641000000     		ar = 13551.4482972128m²