Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100911 / 99314
↖ ↑ ↗
← S 67.594569°
E 97.160339°		 ← 116.42 m → S 67.594569°
E 97.163086°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
S 67.595615°
E 97.160339°		 ← 116.41 m →
13 550 m²		 S 67.595615°
E 97.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769893646240234 y=0.757709503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769893646240234 × 217)
    floor (0.769893646240234 × 131072)
    floor (100911.5)     		tx = 100911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757709503173828 × 217)
    floor (0.757709503173828 × 131072)
    floor (99314.5)     		ty = 99314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100911 / 99314 ti = "17/100911/99314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100911/99314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100911 ÷ 217
    100911 ÷ 131072     		x = 0.769889831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99314 ÷ 217
    99314 ÷ 131072     		y = 0.757705688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769889831542969 × 2 - 1) × π
    0.539779663085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69576782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757705688476562 × 2 - 1) × π
    -0.515411376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61921259536626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69576782} λ = 1.69576782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61921259536626))-π/2
    2×atan(0.198054586801586)-π/2
    2×0.19552427233725-π/2
    0.3910485446745-1.57079632675     		φ = -1.17974778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69576782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.160339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17974778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.594569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100911 KachelY 99314 1.69576782 -1.17974778 97.160339 -67.594569
    Oben rechts KachelX + 1 100912 KachelY 99314 1.69581576 -1.17974778 97.163086 -67.594569
    Unten links KachelX 100911 KachelY + 1 99315 1.69576782 -1.17976605 97.160339 -67.595615
    Unten rechts KachelX + 1 100912 KachelY + 1 99315 1.69581576 -1.17976605 97.163086 -67.595615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17974778--1.17976605) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17974778--1.17976605) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69576782-1.69581576) × cos(-1.17974778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381158016376606 × 6371000     		do = 116.415469208681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69576782-1.69581576) × cos(-1.17976605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381141125517008 × 6371000     		du = 116.410310305389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17974778)-sin(-1.17976605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381158016376606-0.381141125517008)×R²
    abs(1.69581576-1.69576782)×1.68908595981621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68908595981621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68908595981621e-05×40589641000000     		ar = 13550.2473325072m²