Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100910 / 98384
↖ ↑ ↗
← S 66.600676°
E 97.157593°		 ← 121.27 m → S 66.600676°
E 97.160339°		 →
↑
121.24 m
↓
↑
121.24 m
↓
S 66.601766°
E 97.157593°		 ← 121.27 m →
14 703 m²		 S 66.601766°
E 97.160339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769886016845703 y=0.750614166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769886016845703 × 217)
    floor (0.769886016845703 × 131072)
    floor (100910.5)     		tx = 100910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750614166259766 × 217)
    floor (0.750614166259766 × 131072)
    floor (98384.5)     		ty = 98384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100910 / 98384 ti = "17/100910/98384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100910/98384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100910 ÷ 217
    100910 ÷ 131072     		x = 0.769882202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98384 ÷ 217
    98384 ÷ 131072     		y = 0.7506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769882202148438 × 2 - 1) × π
    0.539764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69571989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5746312787196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69571989} λ = 1.69571989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5746312787196))-π/2
    2×atan(0.207083894844654)-π/2
    2×0.204197625780241-π/2
    0.408395251560481-1.57079632675     		φ = -1.16240108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69571989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.157593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16240108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.600676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100910 KachelY 98384 1.69571989 -1.16240108 97.157593 -66.600676
    Oben rechts KachelX + 1 100911 KachelY 98384 1.69576782 -1.16240108 97.160339 -66.600676
    Unten links KachelX 100910 KachelY + 1 98385 1.69571989 -1.16242011 97.157593 -66.601766
    Unten rechts KachelX + 1 100911 KachelY + 1 98385 1.69576782 -1.16242011 97.160339 -66.601766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16240108--1.16242011) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dl = 121.240130000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16240108--1.16242011) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dr = 121.240130000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69571989-1.69576782) × cos(-1.16240108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397137062780417 × 6371000     		do = 121.27057967894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69571989-1.69576782) × cos(-1.16242011) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397119597748816 × 6371000     		du = 121.265246521436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16240108)-sin(-1.16242011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397137062780417-0.397119597748816)×R²
    abs(1.69576782-1.69571989)×1.74650316016045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74650316016045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74650316016045e-05×40589641000000     		ar = 14702.5375496278m²