Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100910 / 97858
↖ ↑ ↗
← S 66.020251°
E 97.157593°		 ← 124.10 m → S 66.020251°
E 97.160339°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
S 66.021367°
E 97.157593°		 ← 124.10 m →
15 402 m²		 S 66.021367°
E 97.160339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769886016845703 y=0.746601104736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769886016845703 × 217)
    floor (0.769886016845703 × 131072)
    floor (100910.5)     		tx = 100910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746601104736328 × 217)
    floor (0.746601104736328 × 131072)
    floor (97858.5)     		ty = 97858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100910 / 97858 ti = "17/100910/97858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100910/97858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100910 ÷ 217
    100910 ÷ 131072     		x = 0.769882202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97858 ÷ 217
    97858 ÷ 131072     		y = 0.746597290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769882202148438 × 2 - 1) × π
    0.539764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69571989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746597290039062 × 2 - 1) × π
    -0.493194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54941646951945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69571989} λ = 1.69571989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54941646951945))-π/2
    2×atan(0.212371863131982)-π/2
    2×0.209262789078939-π/2
    0.418525578157878-1.57079632675     		φ = -1.15227075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69571989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.157593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15227075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.020251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100910 KachelY 97858 1.69571989 -1.15227075 97.157593 -66.020251
    Oben rechts KachelX + 1 100911 KachelY 97858 1.69576782 -1.15227075 97.160339 -66.020251
    Unten links KachelX 100910 KachelY + 1 97859 1.69571989 -1.15229023 97.157593 -66.021367
    Unten rechts KachelX + 1 100911 KachelY + 1 97859 1.69576782 -1.15229023 97.160339 -66.021367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15227075--1.15229023) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15227075--1.15229023) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69571989-1.69576782) × cos(-1.15227075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406413730805441 × 6371000     		do = 124.103321858699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69571989-1.69576782) × cos(-1.15229023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406395932063513 × 6371000     		du = 124.097886798732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15227075)-sin(-1.15229023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406413730805441-0.406395932063513)×R²
    abs(1.69576782-1.69571989)×1.77987419286429e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77987419286429e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77987419286429e-05×40589641000000     		ar = 15401.763629885m²