Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10091 / 2438
↖ ↑ ↗
← N 77.437385°
E 41.726074°		 ← 531.41 m → N 77.437385°
E 41.748047°		 →
↑
531.53 m
↓
↑
531.53 m
↓
N 77.432605°
E 41.726074°		 ← 531.61 m →
282 517 m²		 N 77.432605°
E 41.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615936279296875 y=0.148834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615936279296875 × 214)
    floor (0.615936279296875 × 16384)
    floor (10091.5)     		tx = 10091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148834228515625 × 214)
    floor (0.148834228515625 × 16384)
    floor (2438.5)     		ty = 2438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10091 / 2438 ti = "14/10091/2438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10091/2438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10091 ÷ 214
    10091 ÷ 16384     		x = 0.61590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2438 ÷ 214
    2438 ÷ 16384     		y = 0.1488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61590576171875 × 2 - 1) × π
    0.2318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72825738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1488037109375 × 2 - 1) × π
    0.702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20663136331042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72825738} λ = 0.72825738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20663136331042))-π/2
    2×atan(9.08506051958648)-π/2
    2×1.46116683388608-π/2
    2.92233366777217-1.57079632675     		φ = 1.35153734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72825738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.726074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35153734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.437385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10091 KachelY 2438 0.72825738 1.35153734 41.726074 77.437385
    Oben rechts KachelX + 1 10092 KachelY 2438 0.72864087 1.35153734 41.748047 77.437385
    Unten links KachelX 10091 KachelY + 1 2439 0.72825738 1.35145391 41.726074 77.432605
    Unten rechts KachelX + 1 10092 KachelY + 1 2439 0.72864087 1.35145391 41.748047 77.432605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35153734-1.35145391) × R
    8.34299999998844e-05 × 6371000     		dl = 531.532529999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35153734-1.35145391) × R
    8.34299999998844e-05 × 6371000     		dr = 531.532529999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72825738-0.72864087) × cos(1.35153734) × R
    0.000383490000000042 × 0.217506410335267 × 6371000     		do = 531.414878650991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72825738-0.72864087) × cos(1.35145391) × R
    0.000383490000000042 × 0.217587842171583 × 6371000     		du = 531.613834117855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35153734)-sin(1.35145391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217506410335267-0.217587842171583)×R²
    abs(0.72864087-0.72825738)×8.14318363158983e-05×R²
    0.000383490000000042×8.14318363158983e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.14318363158983e-05×40589641000000     		ar = 282517.170742706m²