Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100909 / 99315
↖ ↑ ↗
← S 67.595615°
E 97.154846°		 ← 116.41 m → S 67.595615°
E 97.157593°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
S 67.596662°
E 97.154846°		 ← 116.41 m →
13 550 m²		 S 67.596662°
E 97.157593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769878387451172 y=0.757717132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769878387451172 × 217)
    floor (0.769878387451172 × 131072)
    floor (100909.5)     		tx = 100909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757717132568359 × 217)
    floor (0.757717132568359 × 131072)
    floor (99315.5)     		ty = 99315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100909 / 99315 ti = "17/100909/99315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100909/99315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100909 ÷ 217
    100909 ÷ 131072     		x = 0.769874572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99315 ÷ 217
    99315 ÷ 131072     		y = 0.757713317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769874572753906 × 2 - 1) × π
    0.539749145507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69567195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757713317871094 × 2 - 1) × π
    -0.515426635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.61926053226588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69567195} λ = 1.69567195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61926053226588))-π/2
    2×atan(0.198045092906295)-π/2
    2×0.195515136772949-π/2
    0.391030273545899-1.57079632675     		φ = -1.17976605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69567195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.154846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17976605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.595615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100909 KachelY 99315 1.69567195 -1.17976605 97.154846 -67.595615
    Oben rechts KachelX + 1 100910 KachelY 99315 1.69571989 -1.17976605 97.157593 -67.595615
    Unten links KachelX 100909 KachelY + 1 99316 1.69567195 -1.17978432 97.154846 -67.596662
    Unten rechts KachelX + 1 100910 KachelY + 1 99316 1.69571989 -1.17978432 97.157593 -67.596662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17976605--1.17978432) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17976605--1.17978432) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69567195-1.69571989) × cos(-1.17976605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381141125517008 × 6371000     		do = 116.410310305389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69567195-1.69571989) × cos(-1.17978432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381124234530188 × 6371000     		du = 116.40515136324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17976605)-sin(-1.17978432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381141125517008-0.381124234530188)×R²
    abs(1.69571989-1.69567195)×1.68909868203393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68909868203393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68909868203393e-05×40589641000000     		ar = 13549.6468433808m²