Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100909 / 98900
↖ ↑ ↗
← S 67.157164°
E 97.154846°		 ← 118.57 m → S 67.157164°
E 97.157593°		 →
↑
118.56 m
↓
↑
118.56 m
↓
S 67.158230°
E 97.154846°		 ← 118.56 m →
14 058 m²		 S 67.158230°
E 97.157593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769878387451172 y=0.754550933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769878387451172 × 217)
    floor (0.769878387451172 × 131072)
    floor (100909.5)     		tx = 100909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754550933837891 × 217)
    floor (0.754550933837891 × 131072)
    floor (98900.5)     		ty = 98900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100909 / 98900 ti = "17/100909/98900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100909/98900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100909 ÷ 217
    100909 ÷ 131072     		x = 0.769874572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98900 ÷ 217
    98900 ÷ 131072     		y = 0.754547119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769874572753906 × 2 - 1) × π
    0.539749145507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69567195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.50909423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59936671892355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69567195} λ = 1.69567195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59936671892355))-π/2
    2×atan(0.202024415732236)-π/2
    2×0.199341353463636-π/2
    0.398682706927273-1.57079632675     		φ = -1.17211362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69567195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.154846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17211362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.157164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100909 KachelY 98900 1.69567195 -1.17211362 97.154846 -67.157164
    Oben rechts KachelX + 1 100910 KachelY 98900 1.69571989 -1.17211362 97.157593 -67.157164
    Unten links KachelX 100909 KachelY + 1 98901 1.69567195 -1.17213223 97.154846 -67.158230
    Unten rechts KachelX + 1 100910 KachelY + 1 98901 1.69571989 -1.17213223 97.157593 -67.158230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17211362--1.17213223) × R
    1.8610000000141e-05 × 6371000     		dl = 118.564310000898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17211362--1.17213223) × R
    1.8610000000141e-05 × 6371000     		dr = 118.564310000898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69567195-1.69571989) × cos(-1.17211362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388204697399408 × 6371000     		do = 118.567706974612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69567195-1.69571989) × cos(-1.17213223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388187546855438 × 6371000     		du = 118.562468757029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17211362)-sin(-1.17213223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388204697399408-0.388187546855438)×R²
    abs(1.69571989-1.69567195)×1.71505439697794e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71505439697794e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71505439697794e-05×40589641000000     		ar = 14057.5878333495m²