Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100896 / 99040
↖ ↑ ↗
← S 67.305976°
E 97.119141°		 ← 117.84 m → S 67.305976°
E 97.121887°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
S 67.307036°
E 97.119141°		 ← 117.83 m →
13 888 m²		 S 67.307036°
E 97.121887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769779205322266 y=0.755619049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769779205322266 × 217)
    floor (0.769779205322266 × 131072)
    floor (100896.5)     		tx = 100896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755619049072266 × 217)
    floor (0.755619049072266 × 131072)
    floor (99040.5)     		ty = 99040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100896 / 99040 ti = "17/100896/99040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100896/99040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100896 ÷ 217
    100896 ÷ 131072     		x = 0.769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99040 ÷ 217
    99040 ÷ 131072     		y = 0.755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769775390625 × 2 - 1) × π
    0.53955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69504877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69504877} λ = 1.69504877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60607788487036))-π/2
    2×atan(0.2006731357568)-π/2
    2×0.198042721904921-π/2
    0.396085443809842-1.57079632675     		φ = -1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69504877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.119141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100896 KachelY 99040 1.69504877 -1.17471088 97.119141 -67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 100897 KachelY 99040 1.69509671 -1.17471088 97.121887 -67.305976
    Unten links KachelX 100896 KachelY + 1 99041 1.69504877 -1.17472938 97.119141 -67.307036
    Unten rechts KachelX + 1 100897 KachelY + 1 99041 1.69509671 -1.17472938 97.121887 -67.307036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17471088--1.17472938) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dl = 117.863500000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17471088--1.17472938) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dr = 117.863500000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69504877-1.69509671) × cos(-1.17471088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 117.836251478349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69504877-1.69509671) × cos(-1.17472938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38579275781937 × 6371000     		du = 117.831038543545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17471088)-sin(-1.17472938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.38579275781937)×R²
    abs(1.69509671-1.69504877)×1.70677651609163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70677651609163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70677651609163e-05×40589641000000     		ar = 13888.2858193365m²