Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100895 / 99038
↖ ↑ ↗
← S 67.303856°
E 97.116394°		 ← 117.85 m → S 67.303856°
E 97.119141°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
S 67.304916°
E 97.116394°		 ← 117.84 m →
13 890 m²		 S 67.304916°
E 97.119141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769771575927734 y=0.755603790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769771575927734 × 217)
    floor (0.769771575927734 × 131072)
    floor (100895.5)     		tx = 100895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755603790283203 × 217)
    floor (0.755603790283203 × 131072)
    floor (99038.5)     		ty = 99038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100895 / 99038 ti = "17/100895/99038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100895/99038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100895 ÷ 217
    100895 ÷ 131072     		x = 0.769767761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99038 ÷ 217
    99038 ÷ 131072     		y = 0.755599975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769767761230469 × 2 - 1) × π
    0.539535522460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69500083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755599975585938 × 2 - 1) × π
    -0.511199951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60598201107112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69500083} λ = 1.69500083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60598201107112))-π/2
    2×atan(0.200692375975032)-π/2
    2×0.198061217249621-π/2
    0.396122434499242-1.57079632675     		φ = -1.17467389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69500083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.116394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17467389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.303856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100895 KachelY 99038 1.69500083 -1.17467389 97.116394 -67.303856
    Oben rechts KachelX + 1 100896 KachelY 99038 1.69504877 -1.17467389 97.119141 -67.303856
    Unten links KachelX 100895 KachelY + 1 99039 1.69500083 -1.17469239 97.116394 -67.304916
    Unten rechts KachelX + 1 100896 KachelY + 1 99039 1.69504877 -1.17469239 97.119141 -67.304916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17467389--1.17469239) × R
    1.84999999999214e-05 × 6371000     		dl = 117.863499999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17467389--1.17469239) × R
    1.84999999999214e-05 × 6371000     		dr = 117.863499999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69500083-1.69504877) × cos(-1.17467389) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.385843951493076 × 6371000     		do = 117.846674409765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69500083-1.69504877) × cos(-1.17469239) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.385826883991937 × 6371000     		du = 117.8414615556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17467389)-sin(-1.17469239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385843951493076-0.385826883991937)×R²
    abs(1.69504877-1.69500083)×1.7067501139445e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.7067501139445e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.7067501139445e-05×40589641000000     		ar = 13889.5143070776m²