Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100893 / 99039
↖ ↑ ↗
← S 67.304916°
E 97.110901°		 ← 117.84 m → S 67.304916°
E 97.113648°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
S 67.305976°
E 97.110901°		 ← 117.84 m →
13 881 m²		 S 67.305976°
E 97.113648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769756317138672 y=0.755611419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769756317138672 × 217)
    floor (0.769756317138672 × 131072)
    floor (100893.5)     		tx = 100893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755611419677734 × 217)
    floor (0.755611419677734 × 131072)
    floor (99039.5)     		ty = 99039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100893 / 99039 ti = "17/100893/99039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100893/99039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100893 ÷ 217
    100893 ÷ 131072     		x = 0.769752502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99039 ÷ 217
    99039 ÷ 131072     		y = 0.755607604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769752502441406 × 2 - 1) × π
    0.539505004882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69490496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755607604980469 × 2 - 1) × π
    -0.511215209960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.60602994797074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69490496} λ = 1.69490496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60602994797074))-π/2
    2×atan(0.200682755635337)-π/2
    2×0.198051969372781-π/2
    0.396103938745562-1.57079632675     		φ = -1.17469239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69490496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.110901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17469239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.304916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100893 KachelY 99039 1.69490496 -1.17469239 97.110901 -67.304916
    Oben rechts KachelX + 1 100894 KachelY 99039 1.69495290 -1.17469239 97.113648 -67.304916
    Unten links KachelX 100893 KachelY + 1 99040 1.69490496 -1.17471088 97.110901 -67.305976
    Unten rechts KachelX + 1 100894 KachelY + 1 99040 1.69495290 -1.17471088 97.113648 -67.305976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17469239--1.17471088) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17469239--1.17471088) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69490496-1.69495290) × cos(-1.17469239) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.385826883991937 × 6371000     		do = 117.8414615556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69490496-1.69495290) × cos(-1.17471088) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.385809825584531 × 6371000     		du = 117.836251478895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17469239)-sin(-1.17471088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385826883991937-0.385809825584531)×R²
    abs(1.69495290-1.69490496)×1.70584074054014e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70584074054014e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70584074054014e-05×40589641000000     		ar = 13881.3925518459m²