Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100892 / 98788
↖ ↑ ↗
← S 67.037449°
E 97.108154°		 ← 119.16 m → S 67.037449°
E 97.110901°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
S 67.038521°
E 97.108154°		 ← 119.15 m →
14 196 m²		 S 67.038521°
E 97.110901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769748687744141 y=0.753696441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769748687744141 × 217)
    floor (0.769748687744141 × 131072)
    floor (100892.5)     		tx = 100892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753696441650391 × 217)
    floor (0.753696441650391 × 131072)
    floor (98788.5)     		ty = 98788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100892 / 98788 ti = "17/100892/98788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100892/98788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100892 ÷ 217
    100892 ÷ 131072     		x = 0.769744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98788 ÷ 217
    98788 ÷ 131072     		y = 0.753692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769744873046875 × 2 - 1) × π
    0.53948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69485702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.50738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59399778616611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69485702} λ = 1.69485702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59399778616611))-π/2
    2×atan(0.203111988174843)-π/2
    2×0.200386057560668-π/2
    0.400772115121336-1.57079632675     		φ = -1.17002421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69485702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.108154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17002421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.037449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100892 KachelY 98788 1.69485702 -1.17002421 97.108154 -67.037449
    Oben rechts KachelX + 1 100893 KachelY 98788 1.69490496 -1.17002421 97.110901 -67.037449
    Unten links KachelX 100892 KachelY + 1 98789 1.69485702 -1.17004291 97.108154 -67.038521
    Unten rechts KachelX + 1 100893 KachelY + 1 98789 1.69490496 -1.17004291 97.110901 -67.038521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17002421--1.17004291) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17002421--1.17004291) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69485702-1.69490496) × cos(-1.17002421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390129392821923 × 6371000     		do = 119.155558498308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69485702-1.69490496) × cos(-1.17004291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390112174540907 × 6371000     		du = 119.150299592087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17002421)-sin(-1.17004291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390129392821923-0.390112174540907)×R²
    abs(1.69490496-1.69485702)×1.72182810160293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72182810160293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72182810160293e-05×40589641000000     		ar = 14195.6059151316m²