Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100889 / 97866
↖ ↑ ↗
← S 66.029179°
E 97.099914°		 ← 124.09 m → S 66.029179°
E 97.102661°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
S 66.030295°
E 97.099914°		 ← 124.08 m →
15 392 m²		 S 66.030295°
E 97.102661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769725799560547 y=0.746662139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769725799560547 × 217)
    floor (0.769725799560547 × 131072)
    floor (100889.5)     		tx = 100889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746662139892578 × 217)
    floor (0.746662139892578 × 131072)
    floor (97866.5)     		ty = 97866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100889 / 97866 ti = "17/100889/97866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100889/97866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100889 ÷ 217
    100889 ÷ 131072     		x = 0.769721984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97866 ÷ 217
    97866 ÷ 131072     		y = 0.746658325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769721984863281 × 2 - 1) × π
    0.539443969726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.69471321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746658325195312 × 2 - 1) × π
    -0.493316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54979996471642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69471321} λ = 1.69471321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54979996471642))-π/2
    2×atan(0.212290435157118)-π/2
    2×0.209184873873506-π/2
    0.418369747747013-1.57079632675     		φ = -1.15242658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69471321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.099914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15242658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.029179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100889 KachelY 97866 1.69471321 -1.15242658 97.099914 -66.029179
    Oben rechts KachelX + 1 100890 KachelY 97866 1.69476115 -1.15242658 97.102661 -66.029179
    Unten links KachelX 100889 KachelY + 1 97867 1.69471321 -1.15244605 97.099914 -66.030295
    Unten rechts KachelX + 1 100890 KachelY + 1 97867 1.69476115 -1.15244605 97.102661 -66.030295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15242658--1.15244605) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dl = 124.043370000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15242658--1.15244605) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dr = 124.043370000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69471321-1.69476115) × cos(-1.15242658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406271345689889 × 6371000     		do = 124.085726398049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69471321-1.69476115) × cos(-1.15244605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40625355485211 × 6371000     		du = 124.080292618255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15242658)-sin(-1.15244605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406271345689889-0.40625355485211)×R²
    abs(1.69476115-1.69471321)×1.77908377783087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77908377783087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77908377783087e-05×40589641000000     		ar = 15391.6746597015m²