Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100888 / 99178
↖ ↑ ↗
← S 67.451763°
E 97.097168°		 ← 117.09 m → S 67.451763°
E 97.099914°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.452816°
E 97.097168°		 ← 117.09 m →
13 711 m²		 S 67.452816°
E 97.099914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769718170166016 y=0.756671905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769718170166016 × 217)
    floor (0.769718170166016 × 131072)
    floor (100888.5)     		tx = 100888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756671905517578 × 217)
    floor (0.756671905517578 × 131072)
    floor (99178.5)     		ty = 99178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100888 / 99178 ti = "17/100888/99178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100888/99178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100888 ÷ 217
    100888 ÷ 131072     		x = 0.76971435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99178 ÷ 217
    99178 ÷ 131072     		y = 0.756668090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76971435546875 × 2 - 1) × π
    0.5394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69466528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756668090820312 × 2 - 1) × π
    -0.513336181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61269317701793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69466528} λ = 1.69466528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61269317701793))-π/2
    2×atan(0.19935000560908)-π/2
    2×0.196770487191217-π/2
    0.393540974382434-1.57079632675     		φ = -1.17725535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69466528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.097168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17725535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.451763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100888 KachelY 99178 1.69466528 -1.17725535 97.097168 -67.451763
    Oben rechts KachelX + 1 100889 KachelY 99178 1.69471321 -1.17725535 97.099914 -67.451763
    Unten links KachelX 100888 KachelY + 1 99179 1.69466528 -1.17727373 97.097168 -67.452816
    Unten rechts KachelX + 1 100889 KachelY + 1 99179 1.69471321 -1.17727373 97.099914 -67.452816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17725535--1.17727373) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17725535--1.17727373) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69466528-1.69471321) × cos(-1.17725535) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383461106300501 × 6371000     		do = 117.094461846038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69466528-1.69471321) × cos(-1.17727373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383444131257596 × 6371000     		du = 117.089278312478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17725535)-sin(-1.17727373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383461106300501-0.383444131257596)×R²
    abs(1.69471321-1.69466528)×1.6975042905043e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6975042905043e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6975042905043e-05×40589641000000     		ar = 13711.3385528526m²