Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100888 / 98685
↖ ↑ ↗
← S 66.926831°
E 97.097168°		 ← 119.67 m → S 66.926831°
E 97.099914°		 →
↑
119.71 m
↓
↑
119.71 m
↓
S 66.927908°
E 97.097168°		 ← 119.67 m →
14 326 m²		 S 66.927908°
E 97.099914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769718170166016 y=0.752910614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769718170166016 × 217)
    floor (0.769718170166016 × 131072)
    floor (100888.5)     		tx = 100888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752910614013672 × 217)
    floor (0.752910614013672 × 131072)
    floor (98685.5)     		ty = 98685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100888 / 98685 ti = "17/100888/98685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100888/98685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100888 ÷ 217
    100888 ÷ 131072     		x = 0.76971435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98685 ÷ 217
    98685 ÷ 131072     		y = 0.752906799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76971435546875 × 2 - 1) × π
    0.5394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69466528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752906799316406 × 2 - 1) × π
    -0.505813598632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58906028550524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69466528} λ = 1.69466528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58906028550524))-π/2
    2×atan(0.204117333655238)-π/2
    2×0.201351381667977-π/2
    0.402702763335954-1.57079632675     		φ = -1.16809356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69466528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.097168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16809356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.926831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100888 KachelY 98685 1.69466528 -1.16809356 97.097168 -66.926831
    Oben rechts KachelX + 1 100889 KachelY 98685 1.69471321 -1.16809356 97.099914 -66.926831
    Unten links KachelX 100888 KachelY + 1 98686 1.69466528 -1.16811235 97.097168 -66.927908
    Unten rechts KachelX + 1 100889 KachelY + 1 98686 1.69471321 -1.16811235 97.099914 -66.927908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16809356--1.16811235) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dl = 119.711089999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16809356--1.16811235) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dr = 119.711089999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69466528-1.69471321) × cos(-1.16809356) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.391906330008906 × 6371000     		do = 119.673312501443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69466528-1.69471321) × cos(-1.16811235) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39188904304344 × 6371000     		du = 119.668033718575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16809356)-sin(-1.16811235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391906330008906-0.39188904304344)×R²
    abs(1.69471321-1.69466528)×1.72869654661012e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72869654661012e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72869654661012e-05×40589641000000     		ar = 14325.906719519m²