Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100883 / 98389
↖ ↑ ↗
← S 66.606129°
E 97.083435°		 ← 121.27 m → S 66.606129°
E 97.086182°		 →
↑
121.30 m
↓
↑
121.30 m
↓
S 66.607220°
E 97.083435°		 ← 121.26 m →
14 710 m²		 S 66.607220°
E 97.086182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769680023193359 y=0.750652313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769680023193359 × 217)
    floor (0.769680023193359 × 131072)
    floor (100883.5)     		tx = 100883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750652313232422 × 217)
    floor (0.750652313232422 × 131072)
    floor (98389.5)     		ty = 98389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100883 / 98389 ti = "17/100883/98389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100883/98389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100883 ÷ 217
    100883 ÷ 131072     		x = 0.769676208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98389 ÷ 217
    98389 ÷ 131072     		y = 0.750648498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769676208496094 × 2 - 1) × π
    0.539352416992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.69442559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750648498535156 × 2 - 1) × π
    -0.501296997070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.5748709632177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69442559} λ = 1.69442559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5748709632177))-π/2
    2×atan(0.207034265993124)-π/2
    2×0.204150037215288-π/2
    0.408300074430575-1.57079632675     		φ = -1.16249625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69442559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.083435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16249625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.606129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100883 KachelY 98389 1.69442559 -1.16249625 97.083435 -66.606129
    Oben rechts KachelX + 1 100884 KachelY 98389 1.69447353 -1.16249625 97.086182 -66.606129
    Unten links KachelX 100883 KachelY + 1 98390 1.69442559 -1.16251529 97.083435 -66.607220
    Unten rechts KachelX + 1 100884 KachelY + 1 98390 1.69447353 -1.16251529 97.086182 -66.607220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16249625--1.16251529) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dl = 121.30383999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16249625--1.16251529) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dr = 121.30383999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69442559-1.69447353) × cos(-1.16249625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397049717828398 × 6371000     		do = 121.26920388445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69442559-1.69447353) × cos(-1.16251529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397032242899596 × 6371000     		du = 121.263866591389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16249625)-sin(-1.16251529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397049717828398-0.397032242899596)×R²
    abs(1.69447353-1.69442559)×1.74749288022746e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74749288022746e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74749288022746e-05×40589641000000     		ar = 14710.096388463m²