Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100881 / 99281
S 67.559996°
E 97.077942°
← 116.56 m → S 67.559996°
E 97.080688°

116.59 m

116.59 m
S 67.561045°
E 97.077942°
← 116.56 m →
13 590 m²
S 67.561045°
E 97.080688°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769664764404297 y=0.757457733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769664764404297 × 217)
    floor (0.769664764404297 × 131072)
    floor (100881.5)
    tx = 100881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757457733154297 × 217)
    floor (0.757457733154297 × 131072)
    floor (99281.5)
    ty = 99281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100881 / 99281 ti = "17/100881/99281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100881/99281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100881 ÷ 217
    100881 ÷ 131072
    x = 0.769660949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99281 ÷ 217
    99281 ÷ 131072
    y = 0.757453918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.769660949707031 × 2 - 1) × π
    0.539321899414062 × 3.1415926535
    Λ = 1.69432972
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.757453918457031 × 2 - 1) × π
    -0.514907836914062 × 3.1415926535
    Φ = -1.61763067767879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69432972} λ = 1.69432972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61763067767879))-π/2
    2×atan(0.198368140798449)-π/2
    2×0.195825973186079-π/2
    0.391651946372157-1.57079632675
    φ = -1.17914438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69432972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.077942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17914438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.559996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100881 KachelY 99281 1.69432972 -1.17914438 97.077942 -67.559996
    Oben rechts KachelX + 1 100882 KachelY 99281 1.69437765 -1.17914438 97.080688 -67.559996
    Unten links KachelX 100881 KachelY + 1 99282 1.69432972 -1.17916268 97.077942 -67.561045
    Unten rechts KachelX + 1 100882 KachelY + 1 99282 1.69437765 -1.17916268 97.080688 -67.561045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.17914438--1.17916268) × R
    1.82999999998046e-05 × 6371000
    dl = 116.589299998755m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.17914438--1.17916268) × R
    1.82999999998046e-05 × 6371000
    dr = 116.589299998755m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.69432972-1.69437765) × cos(-1.17914438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381715796231914 × 6371000
    do = 116.561510420515m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.69432972-1.69437765) × cos(-1.17916268) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381698881848626 × 6371000
    du = 116.556345410098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.17914438)-sin(-1.17916268))×
    abs(λ12)×abs(0.381715796231914-0.381698881848626)×
    abs(1.69437765-1.69432972)×1.69143832872698e-05×
    4.79300000000293e-05×1.69143832872698e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69143832872698e-05×40589641000000
    ar = 13589.5238148047m²