Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100881 / 99279
↖ ↑ ↗
← S 67.557899°
E 97.077942°		 ← 116.57 m → S 67.557899°
E 97.080688°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
S 67.558948°
E 97.077942°		 ← 116.57 m →
13 591 m²		 S 67.558948°
E 97.080688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769664764404297 y=0.757442474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769664764404297 × 217)
    floor (0.769664764404297 × 131072)
    floor (100881.5)     		tx = 100881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757442474365234 × 217)
    floor (0.757442474365234 × 131072)
    floor (99279.5)     		ty = 99279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100881 / 99279 ti = "17/100881/99279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100881/99279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100881 ÷ 217
    100881 ÷ 131072     		x = 0.769660949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99279 ÷ 217
    99279 ÷ 131072     		y = 0.757438659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769660949707031 × 2 - 1) × π
    0.539321899414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.69432972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757438659667969 × 2 - 1) × π
    -0.514877319335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.61753480387955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69432972} λ = 1.69432972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61753480387955))-π/2
    2×atan(0.198387160017464)-π/2
    2×0.19584427226863-π/2
    0.391688544537261-1.57079632675     		φ = -1.17910778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69432972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.077942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17910778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.557899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100881 KachelY 99279 1.69432972 -1.17910778 97.077942 -67.557899
    Oben rechts KachelX + 1 100882 KachelY 99279 1.69437765 -1.17910778 97.080688 -67.557899
    Unten links KachelX 100881 KachelY + 1 99280 1.69432972 -1.17912608 97.077942 -67.558948
    Unten rechts KachelX + 1 100882 KachelY + 1 99280 1.69437765 -1.17912608 97.080688 -67.558948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17910778--1.17912608) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17910778--1.17912608) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69432972-1.69437765) × cos(-1.17910778) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381749624614984 × 6371000     		do = 116.571840324241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69432972-1.69437765) × cos(-1.17912608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381732710487368 × 6371000     		du = 116.566675391896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17910778)-sin(-1.17912608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381749624614984-0.381732710487368)×R²
    abs(1.69437765-1.69432972)×1.69141276162299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69141276162299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69141276162299e-05×40589641000000     		ar = 13590.728175702m²