Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100881 / 98362
↖ ↑ ↗
← S 66.576667°
E 97.077942°		 ← 121.39 m → S 66.576667°
E 97.080688°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
S 66.577759°
E 97.077942°		 ← 121.38 m →
14 732 m²		 S 66.577759°
E 97.080688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769664764404297 y=0.750446319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769664764404297 × 217)
    floor (0.769664764404297 × 131072)
    floor (100881.5)     		tx = 100881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750446319580078 × 217)
    floor (0.750446319580078 × 131072)
    floor (98362.5)     		ty = 98362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100881 / 98362 ti = "17/100881/98362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100881/98362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100881 ÷ 217
    100881 ÷ 131072     		x = 0.769660949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98362 ÷ 217
    98362 ÷ 131072     		y = 0.750442504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769660949707031 × 2 - 1) × π
    0.539321899414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.69432972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750442504882812 × 2 - 1) × π
    -0.500885009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57357666692796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69432972} λ = 1.69432972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57357666692796))-π/2
    2×atan(0.207302403162488)-π/2
    2×0.204407139866942-π/2
    0.408814279733885-1.57079632675     		φ = -1.16198205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69432972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.077942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16198205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.576667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100881 KachelY 98362 1.69432972 -1.16198205 97.077942 -66.576667
    Oben rechts KachelX + 1 100882 KachelY 98362 1.69437765 -1.16198205 97.080688 -66.576667
    Unten links KachelX 100881 KachelY + 1 98363 1.69432972 -1.16200110 97.077942 -66.577759
    Unten rechts KachelX + 1 100882 KachelY + 1 98363 1.69437765 -1.16200110 97.080688 -66.577759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16198205--1.16200110) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dl = 121.367549999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16198205--1.16200110) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dr = 121.367549999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69432972-1.69437765) × cos(-1.16198205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39752159658747 × 6371000     		do = 121.388001702865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69432972-1.69437765) × cos(-1.16200110) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397504116372151 × 6371000     		du = 121.382663908831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16198205)-sin(-1.16200110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39752159658747-0.397504116372151)×R²
    abs(1.69437765-1.69432972)×1.7480215318777e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7480215318777e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7480215318777e-05×40589641000000     		ar = 14732.2404489486m²