Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100880 / 98316
↖ ↑ ↗
← S 66.526393°
E 97.075195°		 ← 121.66 m → S 66.526393°
E 97.077942°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
S 66.527486°
E 97.075195°		 ← 121.65 m →
14 796 m²		 S 66.527486°
E 97.077942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769657135009766 y=0.750095367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769657135009766 × 217)
    floor (0.769657135009766 × 131072)
    floor (100880.5)     		tx = 100880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750095367431641 × 217)
    floor (0.750095367431641 × 131072)
    floor (98316.5)     		ty = 98316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100880 / 98316 ti = "17/100880/98316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100880/98316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100880 ÷ 217
    100880 ÷ 131072     		x = 0.7696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98316 ÷ 217
    98316 ÷ 131072     		y = 0.750091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7696533203125 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69428178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.50018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57137156954544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69428178} λ = 1.69428178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57137156954544))-π/2
    2×atan(0.207760029519001)-π/2
    2×0.204845870439751-π/2
    0.409691740879502-1.57079632675     		φ = -1.16110459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69428178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16110459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.526393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100880 KachelY 98316 1.69428178 -1.16110459 97.075195 -66.526393
    Oben rechts KachelX + 1 100881 KachelY 98316 1.69432972 -1.16110459 97.077942 -66.526393
    Unten links KachelX 100880 KachelY + 1 98317 1.69428178 -1.16112368 97.075195 -66.527486
    Unten rechts KachelX + 1 100881 KachelY + 1 98317 1.69432972 -1.16112368 97.077942 -66.527486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16110459--1.16112368) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dl = 121.622389999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16110459--1.16112368) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dr = 121.622389999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69428178-1.69432972) × cos(-1.16110459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398326594445426 × 6371000     		do = 121.659194870094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69428178-1.69432972) × cos(-1.16112368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398309084191457 × 6371000     		du = 121.653846787818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16110459)-sin(-1.16112368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398326594445426-0.398309084191457)×R²
    abs(1.69432972-1.69428178)×1.75102539692884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75102539692884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75102539692884e-05×40589641000000     		ar = 14796.1568227746m²