Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100877 / 98322
↖ ↑ ↗
← S 66.532956°
E 97.066956°		 ← 121.63 m → S 66.532956°
E 97.069702°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
S 66.534050°
E 97.066956°		 ← 121.62 m →
14 792 m²		 S 66.534050°
E 97.069702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769634246826172 y=0.750141143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769634246826172 × 217)
    floor (0.769634246826172 × 131072)
    floor (100877.5)     		tx = 100877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750141143798828 × 217)
    floor (0.750141143798828 × 131072)
    floor (98322.5)     		ty = 98322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100877 / 98322 ti = "17/100877/98322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100877/98322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100877 ÷ 217
    100877 ÷ 131072     		x = 0.769630432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98322 ÷ 217
    98322 ÷ 131072     		y = 0.750137329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769630432128906 × 2 - 1) × π
    0.539260864257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69413797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750137329101562 × 2 - 1) × π
    -0.500274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57165919094316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69413797} λ = 1.69413797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57165919094316))-π/2
    2×atan(0.207700281881681)-π/2
    2×0.204788594369003-π/2
    0.409577188738006-1.57079632675     		φ = -1.16121914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69413797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.066956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16121914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.532956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100877 KachelY 98322 1.69413797 -1.16121914 97.066956 -66.532956
    Oben rechts KachelX + 1 100878 KachelY 98322 1.69418591 -1.16121914 97.069702 -66.532956
    Unten links KachelX 100877 KachelY + 1 98323 1.69413797 -1.16123823 97.066956 -66.534050
    Unten rechts KachelX + 1 100878 KachelY + 1 98323 1.69418591 -1.16123823 97.069702 -66.534050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16121914--1.16123823) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dl = 121.622389999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16121914--1.16123823) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dr = 121.622389999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69413797-1.69418591) × cos(-1.16121914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39822152157152 × 6371000     		do = 121.627102909828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69413797-1.69418591) × cos(-1.16123823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39820401044664 × 6371000     		du = 121.621754561553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16121914)-sin(-1.16123823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39822152157152-0.39820401044664)×R²
    abs(1.69418591-1.69413797)×1.75111248797433e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75111248797433e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75111248797433e-05×40589641000000     		ar = 14792.2537056705m²