Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100876 / 98317
↖ ↑ ↗
← S 66.527486°
E 97.064209°		 ← 121.65 m → S 66.527486°
E 97.066956°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
S 66.528580°
E 97.064209°		 ← 121.65 m →
14 796 m²		 S 66.528580°
E 97.066956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769626617431641 y=0.750102996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769626617431641 × 217)
    floor (0.769626617431641 × 131072)
    floor (100876.5)     		tx = 100876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750102996826172 × 217)
    floor (0.750102996826172 × 131072)
    floor (98317.5)     		ty = 98317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100876 / 98317 ti = "17/100876/98317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100876/98317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100876 ÷ 217
    100876 ÷ 131072     		x = 0.769622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98317 ÷ 217
    98317 ÷ 131072     		y = 0.750099182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769622802734375 × 2 - 1) × π
    0.53924560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69409003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750099182128906 × 2 - 1) × π
    -0.500198364257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57141950644506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69409003} λ = 1.69409003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57141950644506))-π/2
    2×atan(0.207750070386027)-π/2
    2×0.204836323378568-π/2
    0.409672646757135-1.57079632675     		φ = -1.16112368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69409003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.064209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16112368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.527486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100876 KachelY 98317 1.69409003 -1.16112368 97.064209 -66.527486
    Oben rechts KachelX + 1 100877 KachelY 98317 1.69413797 -1.16112368 97.066956 -66.527486
    Unten links KachelX 100876 KachelY + 1 98318 1.69409003 -1.16114277 97.064209 -66.528580
    Unten rechts KachelX + 1 100877 KachelY + 1 98318 1.69413797 -1.16114277 97.066956 -66.528580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16112368--1.16114277) × R
    1.90900000001104e-05 × 6371000     		dl = 121.622390000703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16112368--1.16114277) × R
    1.90900000001104e-05 × 6371000     		dr = 121.622390000703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69409003-1.69413797) × cos(-1.16112368) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398309084191457 × 6371000     		do = 121.653846788382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69409003-1.69413797) × cos(-1.16114277) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398291573792333 × 6371000     		du = 121.648498661771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16112368)-sin(-1.16114277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398309084191457-0.398291573792333)×R²
    abs(1.69413797-1.69409003)×1.75103991245096e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.75103991245096e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.75103991245096e-05×40589641000000     		ar = 14795.5063735371m²