Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100872 / 99192
↖ ↑ ↗
← S 67.466503°
E 97.053222°		 ← 117.05 m → S 67.466503°
E 97.055969°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.467556°
E 97.053222°		 ← 117.04 m →
13 698 m²		 S 67.467556°
E 97.055969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769596099853516 y=0.756778717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769596099853516 × 217)
    floor (0.769596099853516 × 131072)
    floor (100872.5)     		tx = 100872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756778717041016 × 217)
    floor (0.756778717041016 × 131072)
    floor (99192.5)     		ty = 99192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100872 / 99192 ti = "17/100872/99192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100872/99192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100872 ÷ 217
    100872 ÷ 131072     		x = 0.76959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99192 ÷ 217
    99192 ÷ 131072     		y = 0.75677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76959228515625 × 2 - 1) × π
    0.5391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69389828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61336429361261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69389828} λ = 1.69389828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61336429361261))-π/2
    2×atan(0.199216263395495)-π/2
    2×0.196641853506084-π/2
    0.393283707012169-1.57079632675     		φ = -1.17751262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69389828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.053222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17751262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.466503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100872 KachelY 99192 1.69389828 -1.17751262 97.053222 -67.466503
    Oben rechts KachelX + 1 100873 KachelY 99192 1.69394622 -1.17751262 97.055969 -67.466503
    Unten links KachelX 100872 KachelY + 1 99193 1.69389828 -1.17753099 97.053222 -67.467556
    Unten rechts KachelX + 1 100873 KachelY + 1 99193 1.69394622 -1.17753099 97.055969 -67.467556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17751262--1.17753099) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17751262--1.17753099) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69389828-1.69394622) × cos(-1.17751262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383223490096854 × 6371000     		do = 117.046318048138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69389828-1.69394622) × cos(-1.17753099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383206522477935 × 6371000     		du = 117.041135700573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17751262)-sin(-1.17753099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383223490096854-0.383206522477935)×R²
    abs(1.69394622-1.69389828)×1.69676189190615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69676189190615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69676189190615e-05×40589641000000     		ar = 13698.2441770397m²