Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100871 / 99223
↖ ↑ ↗
← S 67.499110°
E 97.050476°		 ← 116.86 m → S 67.499110°
E 97.053222°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.500161°
E 97.050476°		 ← 116.86 m →
13 654 m²		 S 67.500161°
E 97.053222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769588470458984 y=0.757015228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769588470458984 × 217)
    floor (0.769588470458984 × 131072)
    floor (100871.5)     		tx = 100871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757015228271484 × 217)
    floor (0.757015228271484 × 131072)
    floor (99223.5)     		ty = 99223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100871 / 99223 ti = "17/100871/99223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100871/99223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100871 ÷ 217
    100871 ÷ 131072     		x = 0.769584655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99223 ÷ 217
    99223 ÷ 131072     		y = 0.757011413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769584655761719 × 2 - 1) × π
    0.539169311523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.69385035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757011413574219 × 2 - 1) × π
    -0.514022827148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.61485033750083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69385035} λ = 1.69385035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61485033750083))-π/2
    2×atan(0.198920439143193)-π/2
    2×0.196357305387698-π/2
    0.392714610775395-1.57079632675     		φ = -1.17808172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69385035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.050476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17808172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.499110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100871 KachelY 99223 1.69385035 -1.17808172 97.050476 -67.499110
    Oben rechts KachelX + 1 100872 KachelY 99223 1.69389828 -1.17808172 97.053222 -67.499110
    Unten links KachelX 100871 KachelY + 1 99224 1.69385035 -1.17810006 97.050476 -67.500161
    Unten rechts KachelX + 1 100872 KachelY + 1 99224 1.69389828 -1.17810006 97.053222 -67.500161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17808172--1.17810006) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17808172--1.17810006) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69385035-1.69389828) × cos(-1.17808172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382697775637564 × 6371000     		do = 116.861369645243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69385035-1.69389828) × cos(-1.17810006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382680831731541 × 6371000     		du = 116.856195619703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17808172)-sin(-1.17810006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382697775637564-0.382680831731541)×R²
    abs(1.69389828-1.69385035)×1.69439060229704e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69439060229704e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69439060229704e-05×40589641000000     		ar = 13654.2639586288m²