Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100870 / 99190
↖ ↑ ↗
← S 67.464398°
E 97.047729°		 ← 117.06 m → S 67.464398°
E 97.050476°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.465451°
E 97.047729°		 ← 117.05 m →
13 699 m²		 S 67.465451°
E 97.050476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769580841064453 y=0.756763458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769580841064453 × 217)
    floor (0.769580841064453 × 131072)
    floor (100870.5)     		tx = 100870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756763458251953 × 217)
    floor (0.756763458251953 × 131072)
    floor (99190.5)     		ty = 99190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100870 / 99190 ti = "17/100870/99190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100870/99190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100870 ÷ 217
    100870 ÷ 131072     		x = 0.769577026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99190 ÷ 217
    99190 ÷ 131072     		y = 0.756759643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769577026367188 × 2 - 1) × π
    0.539154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69380241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756759643554688 × 2 - 1) × π
    -0.513519287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61326841981337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69380241} λ = 1.69380241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61326841981337))-π/2
    2×atan(0.199235363931143)-π/2
    2×0.196660224865487-π/2
    0.393320449730973-1.57079632675     		φ = -1.17747588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69380241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.047729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17747588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.464398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100870 KachelY 99190 1.69380241 -1.17747588 97.047729 -67.464398
    Oben rechts KachelX + 1 100871 KachelY 99190 1.69385035 -1.17747588 97.050476 -67.464398
    Unten links KachelX 100870 KachelY + 1 99191 1.69380241 -1.17749425 97.047729 -67.465451
    Unten rechts KachelX + 1 100871 KachelY + 1 99191 1.69385035 -1.17749425 97.050476 -67.465451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17747588--1.17749425) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17747588--1.17749425) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69380241-1.69385035) × cos(-1.17747588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383257424946722 × 6371000     		do = 117.05668262477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69380241-1.69385035) × cos(-1.17749425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383240457586452 × 6371000     		du = 117.051500356204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17747588)-sin(-1.17749425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383257424946722-0.383240457586452)×R²
    abs(1.69385035-1.69380241)×1.69673602705145e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69673602705145e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69673602705145e-05×40589641000000     		ar = 13699.4572024665m²