Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100870 / 98380
↖ ↑ ↗
← S 66.596312°
E 97.047729°		 ← 121.32 m → S 66.596312°
E 97.050476°		 →
↑
121.30 m
↓
↑
121.30 m
↓
S 66.597403°
E 97.047729°		 ← 121.31 m →
14 716 m²		 S 66.597403°
E 97.050476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769580841064453 y=0.750583648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769580841064453 × 217)
    floor (0.769580841064453 × 131072)
    floor (100870.5)     		tx = 100870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750583648681641 × 217)
    floor (0.750583648681641 × 131072)
    floor (98380.5)     		ty = 98380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100870 / 98380 ti = "17/100870/98380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100870/98380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100870 ÷ 217
    100870 ÷ 131072     		x = 0.769577026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98380 ÷ 217
    98380 ÷ 131072     		y = 0.750579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769577026367188 × 2 - 1) × π
    0.539154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69380241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.50115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57443953112112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69380241} λ = 1.69380241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57443953112112))-π/2
    2×atan(0.207123606491359)-π/2
    2×0.204235704170035-π/2
    0.40847140834007-1.57079632675     		φ = -1.16232492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69380241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.047729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16232492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.596312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100870 KachelY 98380 1.69380241 -1.16232492 97.047729 -66.596312
    Oben rechts KachelX + 1 100871 KachelY 98380 1.69385035 -1.16232492 97.050476 -66.596312
    Unten links KachelX 100870 KachelY + 1 98381 1.69380241 -1.16234396 97.047729 -66.597403
    Unten rechts KachelX + 1 100871 KachelY + 1 98381 1.69385035 -1.16234396 97.050476 -66.597403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16232492--1.16234396) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dl = 121.30383999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16232492--1.16234396) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dr = 121.30383999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69380241-1.69385035) × cos(-1.16232492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397206958177728 × 6371000     		do = 121.317229134502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69380241-1.69385035) × cos(-1.16234396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397189484544378 × 6371000     		du = 121.311892237106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16232492)-sin(-1.16234396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397206958177728-0.397189484544378)×R²
    abs(1.69385035-1.69380241)×1.7473633349252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7473633349252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7473633349252e-05×40589641000000     		ar = 14715.9220595193m²