Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10087 / 2457
↖ ↑ ↗
← N 77.346257°
E 41.638184°		 ← 535.21 m → N 77.346257°
E 41.660156°		 →
↑
535.29 m
↓
↑
535.29 m
↓
N 77.341443°
E 41.638184°		 ← 535.41 m →
286 545 m²		 N 77.341443°
E 41.660156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615692138671875 y=0.149993896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615692138671875 × 214)
    floor (0.615692138671875 × 16384)
    floor (10087.5)     		tx = 10087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149993896484375 × 214)
    floor (0.149993896484375 × 16384)
    floor (2457.5)     		ty = 2457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10087 / 2457 ti = "14/10087/2457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10087/2457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10087 ÷ 214
    10087 ÷ 16384     		x = 0.61566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2457 ÷ 214
    2457 ÷ 16384     		y = 0.14996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61566162109375 × 2 - 1) × π
    0.2313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72672340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14996337890625 × 2 - 1) × π
    0.7000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19934495456818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72672340} λ = 0.72672340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19934495456818))-π/2
    2×atan(9.01910364139325)-π/2
    2×1.46037158939502-π/2
    2.92074317879003-1.57079632675     		φ = 1.34994685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72672340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.638184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34994685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.346257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10087 KachelY 2457 0.72672340 1.34994685 41.638184 77.346257
    Oben rechts KachelX + 1 10088 KachelY 2457 0.72710689 1.34994685 41.660156 77.346257
    Unten links KachelX 10087 KachelY + 1 2458 0.72672340 1.34986283 41.638184 77.341443
    Unten rechts KachelX + 1 10088 KachelY + 1 2458 0.72710689 1.34986283 41.660156 77.341443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34994685-1.34986283) × R
    8.40200000000735e-05 × 6371000     		dl = 535.291420000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34994685-1.34986283) × R
    8.40200000000735e-05 × 6371000     		dr = 535.291420000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72672340-0.72710689) × cos(1.34994685) × R
    0.000383489999999931 × 0.219058546480147 × 6371000     		do = 535.207080636101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72672340-0.72710689) × cos(1.34986283) × R
    0.000383489999999931 × 0.219140525005243 × 6371000     		du = 535.407371781078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34994685)-sin(1.34986283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219058546480147-0.219140525005243)×R²
    abs(0.72710689-0.72672340)×8.1978525095755e-05×R²
    0.000383489999999931×8.1978525095755e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.1978525095755e-05×40589641000000     		ar = 286545.365422504m²