Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100869 / 98381
↖ ↑ ↗
← S 66.597403°
E 97.044983°		 ← 121.31 m → S 66.597403°
E 97.047729°		 →
↑
121.30 m
↓
↑
121.30 m
↓
S 66.598494°
E 97.044983°		 ← 121.31 m →
14 715 m²		 S 66.598494°
E 97.047729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769573211669922 y=0.750591278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769573211669922 × 217)
    floor (0.769573211669922 × 131072)
    floor (100869.5)     		tx = 100869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750591278076172 × 217)
    floor (0.750591278076172 × 131072)
    floor (98381.5)     		ty = 98381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100869 / 98381 ti = "17/100869/98381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100869/98381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100869 ÷ 217
    100869 ÷ 131072     		x = 0.769569396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98381 ÷ 217
    98381 ÷ 131072     		y = 0.750587463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769569396972656 × 2 - 1) × π
    0.539138793945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.69375447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750587463378906 × 2 - 1) × π
    -0.501174926757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57448746802074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69375447} λ = 1.69375447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57448746802074))-π/2
    2×atan(0.207113677865801)-π/2
    2×0.204226183944374-π/2
    0.408452367888748-1.57079632675     		φ = -1.16234396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69375447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.044983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16234396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.597403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100869 KachelY 98381 1.69375447 -1.16234396 97.044983 -66.597403
    Oben rechts KachelX + 1 100870 KachelY 98381 1.69380241 -1.16234396 97.047729 -66.597403
    Unten links KachelX 100869 KachelY + 1 98382 1.69375447 -1.16236300 97.044983 -66.598494
    Unten rechts KachelX + 1 100870 KachelY + 1 98382 1.69380241 -1.16236300 97.047729 -66.598494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16234396--1.16236300) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dl = 121.30383999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16234396--1.16236300) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dr = 121.30383999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69375447-1.69380241) × cos(-1.16234396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397189484544378 × 6371000     		do = 121.311892237106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69375447-1.69380241) × cos(-1.16236300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397172010767039 × 6371000     		du = 121.306555295731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16234396)-sin(-1.16236300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397189484544378-0.397172010767039)×R²
    abs(1.69380241-1.69375447)×1.74737773390166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74737773390166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74737773390166e-05×40589641000000     		ar = 14715.2746707765m²