Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100869 / 98295
↖ ↑ ↗
← S 66.503407°
E 97.044983°		 ← 121.77 m → S 66.503407°
E 97.047729°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
S 66.504502°
E 97.044983°		 ← 121.77 m →
14 825 m²		 S 66.504502°
E 97.047729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769573211669922 y=0.749935150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769573211669922 × 217)
    floor (0.769573211669922 × 131072)
    floor (100869.5)     		tx = 100869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749935150146484 × 217)
    floor (0.749935150146484 × 131072)
    floor (98295.5)     		ty = 98295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100869 / 98295 ti = "17/100869/98295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100869/98295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100869 ÷ 217
    100869 ÷ 131072     		x = 0.769569396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98295 ÷ 217
    98295 ÷ 131072     		y = 0.749931335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769569396972656 × 2 - 1) × π
    0.539138793945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.69375447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749931335449219 × 2 - 1) × π
    -0.499862670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.57036489465342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69375447} λ = 1.69375447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57036489465342))-π/2
    2×atan(0.207969281631035)-π/2
    2×0.205046455719564-π/2
    0.410092911439129-1.57079632675     		φ = -1.16070342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69375447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.044983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16070342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.503407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100869 KachelY 98295 1.69375447 -1.16070342 97.044983 -66.503407
    Oben rechts KachelX + 1 100870 KachelY 98295 1.69380241 -1.16070342 97.047729 -66.503407
    Unten links KachelX 100869 KachelY + 1 98296 1.69375447 -1.16072253 97.044983 -66.504502
    Unten rechts KachelX + 1 100870 KachelY + 1 98296 1.69380241 -1.16072253 97.047729 -66.504502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16070342--1.16072253) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16070342--1.16072253) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69375447-1.69380241) × cos(-1.16070342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398694533020149 × 6371000     		do = 121.771572781553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69375447-1.69380241) × cos(-1.16072253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398677007476212 × 6371000     		du = 121.766220029328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16070342)-sin(-1.16072253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398694533020149-0.398677007476212)×R²
    abs(1.69380241-1.69375447)×1.75255439368582e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75255439368582e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75255439368582e-05×40589641000000     		ar = 14825.3400016087m²