Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100868 / 98292
↖ ↑ ↗
← S 66.500121°
E 97.042236°		 ← 121.76 m → S 66.500121°
E 97.044983°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
S 66.501217°
E 97.042236°		 ← 121.76 m →
14 832 m²		 S 66.501217°
E 97.044983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769565582275391 y=0.749912261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769565582275391 × 217)
    floor (0.769565582275391 × 131072)
    floor (100868.5)     		tx = 100868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749912261962891 × 217)
    floor (0.749912261962891 × 131072)
    floor (98292.5)     		ty = 98292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100868 / 98292 ti = "17/100868/98292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100868/98292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100868 ÷ 217
    100868 ÷ 131072     		x = 0.769561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98292 ÷ 217
    98292 ÷ 131072     		y = 0.749908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769561767578125 × 2 - 1) × π
    0.53912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69370654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.49981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57022108395456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69370654} λ = 1.69370654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57022108395456))-π/2
    2×atan(0.207999191989431)-π/2
    2×0.205075125880129-π/2
    0.410150251760258-1.57079632675     		φ = -1.16064607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69370654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.042236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16064607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.500121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100868 KachelY 98292 1.69370654 -1.16064607 97.042236 -66.500121
    Oben rechts KachelX + 1 100869 KachelY 98292 1.69375447 -1.16064607 97.044983 -66.500121
    Unten links KachelX 100868 KachelY + 1 98293 1.69370654 -1.16066519 97.042236 -66.501217
    Unten rechts KachelX + 1 100869 KachelY + 1 98293 1.69375447 -1.16066519 97.044983 -66.501217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16064607--1.16066519) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dl = 121.813519999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16064607--1.16066519) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dr = 121.813519999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69370654-1.69375447) × cos(-1.16064607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398747127119551 × 6371000     		do = 121.762232193969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69370654-1.69375447) × cos(-1.16066519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398729592841901 × 6371000     		du = 121.756877891351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16064607)-sin(-1.16066519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398747127119551-0.398729592841901)×R²
    abs(1.69375447-1.69370654)×1.75342776503329e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75342776503329e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75342776503329e-05×40589641000000     		ar = 14831.9599937455m²