Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100857 / 98810
↖ ↑ ↗
← S 67.061011°
E 97.012024°		 ← 119.04 m → S 67.061011°
E 97.014771°		 →
↑
119.01 m
↓
↑
119.01 m
↓
S 67.062082°
E 97.012024°		 ← 119.03 m →
14 167 m²		 S 67.062082°
E 97.014771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769481658935547 y=0.753864288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769481658935547 × 217)
    floor (0.769481658935547 × 131072)
    floor (100857.5)     		tx = 100857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753864288330078 × 217)
    floor (0.753864288330078 × 131072)
    floor (98810.5)     		ty = 98810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100857 / 98810 ti = "17/100857/98810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100857/98810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100857 ÷ 217
    100857 ÷ 131072     		x = 0.769477844238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98810 ÷ 217
    98810 ÷ 131072     		y = 0.753860473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769477844238281 × 2 - 1) × π
    0.538955688476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.69317923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753860473632812 × 2 - 1) × π
    -0.507720947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59505239795775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69317923} λ = 1.69317923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59505239795775))-π/2
    2×atan(0.202897896788583)-π/2
    2×0.200180439886415-π/2
    0.40036087977283-1.57079632675     		φ = -1.17043545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69317923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.012024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17043545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.061011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100857 KachelY 98810 1.69317923 -1.17043545 97.012024 -67.061011
    Oben rechts KachelX + 1 100858 KachelY 98810 1.69322717 -1.17043545 97.014771 -67.061011
    Unten links KachelX 100857 KachelY + 1 98811 1.69317923 -1.17045413 97.012024 -67.062082
    Unten rechts KachelX + 1 100858 KachelY + 1 98811 1.69322717 -1.17045413 97.014771 -67.062082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17043545--1.17045413) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dl = 119.010279999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17043545--1.17045413) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dr = 119.010279999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69317923-1.69322717) × cos(-1.17043545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389750706483479 × 6371000     		do = 119.039897943161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69317923-1.69322717) × cos(-1.17045413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389733503622371 × 6371000     		du = 119.034643746577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17043545)-sin(-1.17045413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389750706483479-0.389733503622371)×R²
    abs(1.69322717-1.69317923)×1.72028611083452e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72028611083452e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72028611083452e-05×40589641000000     		ar = 14166.6589341399m²