Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100852 / 99348
↖ ↑ ↗
← S 67.630136°
E 96.998291°		 ← 116.22 m → S 67.630136°
E 97.001037°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
S 67.631181°
E 96.998291°		 ← 116.21 m →
13 505 m²		 S 67.631181°
E 97.001037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769443511962891 y=0.757968902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769443511962891 × 217)
    floor (0.769443511962891 × 131072)
    floor (100852.5)     		tx = 100852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757968902587891 × 217)
    floor (0.757968902587891 × 131072)
    floor (99348.5)     		ty = 99348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100852 / 99348 ti = "17/100852/99348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100852/99348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100852 ÷ 217
    100852 ÷ 131072     		x = 0.769439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99348 ÷ 217
    99348 ÷ 131072     		y = 0.757965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769439697265625 × 2 - 1) × π
    0.53887939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69293955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.51593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62084244995334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69293955} λ = 1.69293955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62084244995334))-π/2
    2×atan(0.197732049540612)-π/2
    2×0.195213890191336-π/2
    0.390427780382672-1.57079632675     		φ = -1.18036855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69293955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.998291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18036855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.630136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100852 KachelY 99348 1.69293955 -1.18036855 96.998291 -67.630136
    Oben rechts KachelX + 1 100853 KachelY 99348 1.69298748 -1.18036855 97.001037 -67.630136
    Unten links KachelX 100852 KachelY + 1 99349 1.69293955 -1.18038679 96.998291 -67.631181
    Unten rechts KachelX + 1 100853 KachelY + 1 99349 1.69298748 -1.18038679 97.001037 -67.631181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18036855--1.18038679) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18036855--1.18038679) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69293955-1.69298748) × cos(-1.18036855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380584034958385 × 6371000     		do = 116.215913500554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69293955-1.69298748) × cos(-1.18038679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380567167521844 × 6371000     		du = 116.210762825892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18036855)-sin(-1.18038679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380584034958385-0.380567167521844)×R²
    abs(1.69298748-1.69293955)×1.68674365403354e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68674365403354e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68674365403354e-05×40589641000000     		ar = 13504.8080367322m²