Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100851 / 98283
↖ ↑ ↗
← S 66.490263°
E 96.995544°		 ← 121.84 m → S 66.490263°
E 96.998291°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
S 66.491359°
E 96.995544°		 ← 121.83 m →
14 841 m²		 S 66.491359°
E 96.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769435882568359 y=0.749843597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769435882568359 × 217)
    floor (0.769435882568359 × 131072)
    floor (100851.5)     		tx = 100851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749843597412109 × 217)
    floor (0.749843597412109 × 131072)
    floor (98283.5)     		ty = 98283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100851 / 98283 ti = "17/100851/98283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100851/98283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100851 ÷ 217
    100851 ÷ 131072     		x = 0.769432067871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98283 ÷ 217
    98283 ÷ 131072     		y = 0.749839782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769432067871094 × 2 - 1) × π
    0.538864135742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.69289161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749839782714844 × 2 - 1) × π
    -0.499679565429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.56978965185798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69289161} λ = 1.69289161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56978965185798))-π/2
    2×atan(0.208088948877527)-π/2
    2×0.205161159051607-π/2
    0.410322318103214-1.57079632675     		φ = -1.16047401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69289161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.995544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16047401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.490263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100851 KachelY 98283 1.69289161 -1.16047401 96.995544 -66.490263
    Oben rechts KachelX + 1 100852 KachelY 98283 1.69293955 -1.16047401 96.998291 -66.490263
    Unten links KachelX 100851 KachelY + 1 98284 1.69289161 -1.16049313 96.995544 -66.491359
    Unten rechts KachelX + 1 100852 KachelY + 1 98284 1.69293955 -1.16049313 96.998291 -66.491359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16047401--1.16049313) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dl = 121.813520000956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16047401--1.16049313) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dr = 121.813520000956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69289161-1.69293955) × cos(-1.16047401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398904910718062 × 6371000     		do = 121.835827545618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69289161-1.69293955) × cos(-1.16049313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398887377752435 × 6371000     		du = 121.830472526617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16047401)-sin(-1.16049313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398904910718062-0.398887377752435)×R²
    abs(1.69293955-1.69289161)×1.75329656266765e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75329656266765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75329656266765e-05×40589641000000     		ar = 14840.9248592811m²