Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100850 / 99358
↖ ↑ ↗
← S 67.640587°
E 96.992798°		 ← 116.19 m → S 67.640587°
E 96.995544°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.641631°
E 96.992798°		 ← 116.18 m →
13 494 m²		 S 67.641631°
E 96.995544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769428253173828 y=0.758045196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769428253173828 × 217)
    floor (0.769428253173828 × 131072)
    floor (100850.5)     		tx = 100850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758045196533203 × 217)
    floor (0.758045196533203 × 131072)
    floor (99358.5)     		ty = 99358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100850 / 99358 ti = "17/100850/99358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100850/99358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100850 ÷ 217
    100850 ÷ 131072     		x = 0.769424438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99358 ÷ 217
    99358 ÷ 131072     		y = 0.758041381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769424438476562 × 2 - 1) × π
    0.538848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69284367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758041381835938 × 2 - 1) × π
    -0.516082763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62132181894954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69284367} λ = 1.69284367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62132181894954))-π/2
    2×atan(0.197637285641759)-π/2
    2×0.195122690313349-π/2
    0.390245380626697-1.57079632675     		φ = -1.18055095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69284367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.992798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18055095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.640587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100850 KachelY 99358 1.69284367 -1.18055095 96.992798 -67.640587
    Oben rechts KachelX + 1 100851 KachelY 99358 1.69289161 -1.18055095 96.995544 -67.640587
    Unten links KachelX 100850 KachelY + 1 99359 1.69284367 -1.18056918 96.992798 -67.641631
    Unten rechts KachelX + 1 100851 KachelY + 1 99359 1.69289161 -1.18056918 96.995544 -67.641631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18055095--1.18056918) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18055095--1.18056918) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69284367-1.69289161) × cos(-1.18055095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380415354896034 × 6371000     		do = 116.188641276408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69284367-1.69289161) × cos(-1.18056918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380398495441835 × 6371000     		du = 116.183491965133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18055095)-sin(-1.18056918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380415354896034-0.380398495441835)×R²
    abs(1.69289161-1.69284367)×1.68594541989364e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68594541989364e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68594541989364e-05×40589641000000     		ar = 13494.2366772403m²