Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100848 / 99248
↖ ↑ ↗
← S 67.525374°
E 96.987305°		 ← 116.76 m → S 67.525374°
E 96.990051°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
S 67.526423°
E 96.987305°		 ← 116.75 m →
13 627 m²		 S 67.526423°
E 96.990051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769412994384766 y=0.757205963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769412994384766 × 217)
    floor (0.769412994384766 × 131072)
    floor (100848.5)     		tx = 100848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757205963134766 × 217)
    floor (0.757205963134766 × 131072)
    floor (99248.5)     		ty = 99248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100848 / 99248 ti = "17/100848/99248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100848/99248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100848 ÷ 217
    100848 ÷ 131072     		x = 0.7694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99248 ÷ 217
    99248 ÷ 131072     		y = 0.7572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7694091796875 × 2 - 1) × π
    0.538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69274780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61604875999133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69274780} λ = 1.69274780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61604875999133))-π/2
    2×atan(0.198682191204462)-π/2
    2×0.196128115484731-π/2
    0.392256230969463-1.57079632675     		φ = -1.17854010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69274780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17854010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.525374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100848 KachelY 99248 1.69274780 -1.17854010 96.987305 -67.525374
    Oben rechts KachelX + 1 100849 KachelY 99248 1.69279574 -1.17854010 96.990051 -67.525374
    Unten links KachelX 100848 KachelY + 1 99249 1.69274780 -1.17855842 96.987305 -67.526423
    Unten rechts KachelX + 1 100849 KachelY + 1 99249 1.69279574 -1.17855842 96.990051 -67.526423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17854010--1.17855842) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dl = 116.71672000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17854010--1.17855842) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dr = 116.71672000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69274780-1.69279574) × cos(-1.17854010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382274250270919 × 6371000     		do = 116.756395771864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69274780-1.69279574) × cos(-1.17855842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382257321630644 × 6371000     		du = 116.751225329381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17854010)-sin(-1.17855842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382274250270919-0.382257321630644)×R²
    abs(1.69279574-1.69274780)×1.69286402745272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69286402745272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69286402745272e-05×40589641000000     		ar = 13627.1218154746m²