Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100847 / 98286
↖ ↑ ↗
← S 66.493549°
E 96.984558°		 ← 121.82 m → S 66.493549°
E 96.987305°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
S 66.494645°
E 96.984558°		 ← 121.81 m →
14 839 m²		 S 66.494645°
E 96.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769405364990234 y=0.749866485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769405364990234 × 217)
    floor (0.769405364990234 × 131072)
    floor (100847.5)     		tx = 100847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749866485595703 × 217)
    floor (0.749866485595703 × 131072)
    floor (98286.5)     		ty = 98286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100847 / 98286 ti = "17/100847/98286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100847/98286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100847 ÷ 217
    100847 ÷ 131072     		x = 0.769401550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98286 ÷ 217
    98286 ÷ 131072     		y = 0.749862670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769401550292969 × 2 - 1) × π
    0.538803100585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69269986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749862670898438 × 2 - 1) × π
    -0.499725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56993346255684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69269986} λ = 1.69269986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56993346255684))-π/2
    2×atan(0.208059025612059)-π/2
    2×0.205132477545746-π/2
    0.410264955091492-1.57079632675     		φ = -1.16053137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69269986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.984558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16053137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.493549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100847 KachelY 98286 1.69269986 -1.16053137 96.984558 -66.493549
    Oben rechts KachelX + 1 100848 KachelY 98286 1.69274780 -1.16053137 96.987305 -66.493549
    Unten links KachelX 100847 KachelY + 1 98287 1.69269986 -1.16055049 96.984558 -66.494645
    Unten rechts KachelX + 1 100848 KachelY + 1 98287 1.69274780 -1.16055049 96.987305 -66.494645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16053137--1.16055049) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dl = 121.813520000956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16053137--1.16055049) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dr = 121.813520000956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69269986-1.69274780) × cos(-1.16053137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39885231138372 × 6371000     		do = 121.819762355003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69269986-1.69274780) × cos(-1.16055049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398834777980643 × 6371000     		du = 121.814407202394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16053137)-sin(-1.16055049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39885231138372-0.398834777980643)×R²
    abs(1.69274780-1.69269986)×1.75334030764751e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75334030764751e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75334030764751e-05×40589641000000     		ar = 14838.9678935971m²