Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100846 / 98990
↖ ↑ ↗
← S 67.252934°
E 96.981812°		 ← 118.07 m → S 67.252934°
E 96.984558°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
S 67.253996°
E 96.981812°		 ← 118.07 m →
13 946 m²		 S 67.253996°
E 96.984558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769397735595703 y=0.755237579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769397735595703 × 217)
    floor (0.769397735595703 × 131072)
    floor (100846.5)     		tx = 100846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755237579345703 × 217)
    floor (0.755237579345703 × 131072)
    floor (98990.5)     		ty = 98990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100846 / 98990 ti = "17/100846/98990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100846/98990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100846 ÷ 217
    100846 ÷ 131072     		x = 0.769393920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98990 ÷ 217
    98990 ÷ 131072     		y = 0.755233764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769393920898438 × 2 - 1) × π
    0.538787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69265193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755233764648438 × 2 - 1) × π
    -0.510467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60368103988936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69265193} λ = 1.69265193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60368103988936))-π/2
    2×atan(0.20115469503599)-π/2
    2×0.198505596591172-π/2
    0.397011193182343-1.57079632675     		φ = -1.17378513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69265193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.981812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17378513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.252934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100846 KachelY 98990 1.69265193 -1.17378513 96.981812 -67.252934
    Oben rechts KachelX + 1 100847 KachelY 98990 1.69269986 -1.17378513 96.984558 -67.252934
    Unten links KachelX 100846 KachelY + 1 98991 1.69265193 -1.17380367 96.981812 -67.253996
    Unten rechts KachelX + 1 100847 KachelY + 1 98991 1.69269986 -1.17380367 96.984558 -67.253996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17378513--1.17380367) × R
    1.85400000001223e-05 × 6371000     		dl = 118.118340000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17378513--1.17380367) × R
    1.85400000001223e-05 × 6371000     		dr = 118.118340000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69265193-1.69269986) × cos(-1.17378513) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386663737031272 × 6371000     		do = 118.072423667328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69265193-1.69269986) × cos(-1.17380367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386646638991684 × 6371000     		du = 118.06720257525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17378513)-sin(-1.17380367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386663737031272-0.386646638991684)×R²
    abs(1.69269986-1.69265193)×1.70980395879927e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70980395879927e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70980395879927e-05×40589641000000     		ar = 13946.2103304551m²