Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100845 / 98989
↖ ↑ ↗
← S 67.251872°
E 96.979065°		 ← 118.10 m → S 67.251872°
E 96.981812°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
S 67.252934°
E 96.979065°		 ← 118.10 m →
13 942 m²		 S 67.252934°
E 96.981812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769390106201172 y=0.755229949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769390106201172 × 217)
    floor (0.769390106201172 × 131072)
    floor (100845.5)     		tx = 100845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755229949951172 × 217)
    floor (0.755229949951172 × 131072)
    floor (98989.5)     		ty = 98989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100845 / 98989 ti = "17/100845/98989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100845/98989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100845 ÷ 217
    100845 ÷ 131072     		x = 0.769386291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98989 ÷ 217
    98989 ÷ 131072     		y = 0.755226135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769386291503906 × 2 - 1) × π
    0.538772583007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69260399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755226135253906 × 2 - 1) × π
    -0.510452270507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.60363310298974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69260399} λ = 1.69260399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60363310298974))-π/2
    2×atan(0.201164337999539)-π/2
    2×0.198514864526325-π/2
    0.397029729052649-1.57079632675     		φ = -1.17376660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69260399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.979065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17376660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.251872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100845 KachelY 98989 1.69260399 -1.17376660 96.979065 -67.251872
    Oben rechts KachelX + 1 100846 KachelY 98989 1.69265193 -1.17376660 96.981812 -67.251872
    Unten links KachelX 100845 KachelY + 1 98990 1.69260399 -1.17378513 96.979065 -67.252934
    Unten rechts KachelX + 1 100846 KachelY + 1 98990 1.69265193 -1.17378513 96.981812 -67.252934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17376660--1.17378513) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17376660--1.17378513) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69260399-1.69265193) × cos(-1.17376660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386680825715816 × 6371000     		do = 118.102277337987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69260399-1.69265193) × cos(-1.17378513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386663737031272 × 6371000     		du = 118.097058013864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17376660)-sin(-1.17378513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386680825715816-0.386663737031272)×R²
    abs(1.69265193-1.69260399)×1.70886845431983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70886845431983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70886845431983e-05×40589641000000     		ar = 13942.2125710474m²