Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100843 / 99335
↖ ↑ ↗
← S 67.616543°
E 96.973571°		 ← 116.31 m → S 67.616543°
E 96.976318°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
S 67.617589°
E 96.973571°		 ← 116.30 m →
13 523 m²		 S 67.617589°
E 96.976318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769374847412109 y=0.757869720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769374847412109 × 217)
    floor (0.769374847412109 × 131072)
    floor (100843.5)     		tx = 100843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757869720458984 × 217)
    floor (0.757869720458984 × 131072)
    floor (99335.5)     		ty = 99335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100843 / 99335 ti = "17/100843/99335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100843/99335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100843 ÷ 217
    100843 ÷ 131072     		x = 0.769371032714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99335 ÷ 217
    99335 ÷ 131072     		y = 0.757865905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769371032714844 × 2 - 1) × π
    0.538742065429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69250811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757865905761719 × 2 - 1) × π
    -0.515731811523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.62021927025828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69250811} λ = 1.69250811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62021927025828))-π/2
    2×atan(0.197855310541836)-π/2
    2×0.195332510488839-π/2
    0.390665020977678-1.57079632675     		φ = -1.18013131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69250811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.973571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18013131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.616543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100843 KachelY 99335 1.69250811 -1.18013131 96.973571 -67.616543
    Oben rechts KachelX + 1 100844 KachelY 99335 1.69255605 -1.18013131 96.976318 -67.616543
    Unten links KachelX 100843 KachelY + 1 99336 1.69250811 -1.18014956 96.973571 -67.617589
    Unten rechts KachelX + 1 100844 KachelY + 1 99336 1.69255605 -1.18014956 96.976318 -67.617589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18013131--1.18014956) × R
    1.82500000001085e-05 × 6371000     		dl = 116.270750000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18013131--1.18014956) × R
    1.82500000001085e-05 × 6371000     		dr = 116.270750000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69250811-1.69255605) × cos(-1.18013131) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380803411067728 × 6371000     		do = 116.307163620348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69250811-1.69255605) × cos(-1.18014956) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380786536031881 × 6371000     		du = 116.302009550036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18013131)-sin(-1.18014956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380803411067728-0.380786536031881)×R²
    abs(1.69255605-1.69250811)×1.68750358469083e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68750358469083e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68750358469083e-05×40589641000000     		ar = 13522.8215111547m²