Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100843 / 98277
↖ ↑ ↗
← S 66.483688°
E 96.973571°		 ← 121.87 m → S 66.483688°
E 96.976318°		 →
↑
121.88 m
↓
↑
121.88 m
↓
S 66.484784°
E 96.973571°		 ← 121.86 m →
14 853 m²		 S 66.484784°
E 96.976318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769374847412109 y=0.749797821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769374847412109 × 217)
    floor (0.769374847412109 × 131072)
    floor (100843.5)     		tx = 100843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749797821044922 × 217)
    floor (0.749797821044922 × 131072)
    floor (98277.5)     		ty = 98277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100843 / 98277 ti = "17/100843/98277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100843/98277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100843 ÷ 217
    100843 ÷ 131072     		x = 0.769371032714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98277 ÷ 217
    98277 ÷ 131072     		y = 0.749794006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769371032714844 × 2 - 1) × π
    0.538742065429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69250811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749794006347656 × 2 - 1) × π
    -0.499588012695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.56950203046026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69250811} λ = 1.69250811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56950203046026))-π/2
    2×atan(0.208148808319869)-π/2
    2×0.205218533411456-π/2
    0.410437066822913-1.57079632675     		φ = -1.16035926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69250811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.973571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16035926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.483688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100843 KachelY 98277 1.69250811 -1.16035926 96.973571 -66.483688
    Oben rechts KachelX + 1 100844 KachelY 98277 1.69255605 -1.16035926 96.976318 -66.483688
    Unten links KachelX 100843 KachelY + 1 98278 1.69250811 -1.16037839 96.973571 -66.484784
    Unten rechts KachelX + 1 100844 KachelY + 1 98278 1.69255605 -1.16037839 96.976318 -66.484784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16035926--1.16037839) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dl = 121.877230000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16035926--1.16037839) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dr = 121.877230000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69250811-1.69255605) × cos(-1.16035926) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.399010132957575 × 6371000     		do = 121.86796512655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69250811-1.69255605) × cos(-1.16037839) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398992591697708 × 6371000     		du = 121.862607574275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16035926)-sin(-1.16037839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399010132957575-0.398992591697708)×R²
    abs(1.69255605-1.69250811)×1.7541259866527e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.7541259866527e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.7541259866527e-05×40589641000000     		ar = 14852.6035341701m²