Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100842 / 99332
↖ ↑ ↗
← S 67.613405°
E 96.970825°		 ← 116.30 m → S 67.613405°
E 96.973571°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
S 67.614451°
E 96.970825°		 ← 116.29 m →
13 529 m²		 S 67.614451°
E 96.973571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769367218017578 y=0.757846832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769367218017578 × 217)
    floor (0.769367218017578 × 131072)
    floor (100842.5)     		tx = 100842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757846832275391 × 217)
    floor (0.757846832275391 × 131072)
    floor (99332.5)     		ty = 99332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100842 / 99332 ti = "17/100842/99332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100842/99332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100842 ÷ 217
    100842 ÷ 131072     		x = 0.769363403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99332 ÷ 217
    99332 ÷ 131072     		y = 0.757843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769363403320312 × 2 - 1) × π
    0.538726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69246018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.51568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62007545955942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69246018} λ = 1.69246018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62007545955942))-π/2
    2×atan(0.19788376629839)-π/2
    2×0.195359894112074-π/2
    0.390719788224149-1.57079632675     		φ = -1.18007654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69246018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.970825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18007654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.613405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100842 KachelY 99332 1.69246018 -1.18007654 96.970825 -67.613405
    Oben rechts KachelX + 1 100843 KachelY 99332 1.69250811 -1.18007654 96.973571 -67.613405
    Unten links KachelX 100842 KachelY + 1 99333 1.69246018 -1.18009480 96.970825 -67.614451
    Unten rechts KachelX + 1 100843 KachelY + 1 99333 1.69250811 -1.18009480 96.973571 -67.614451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18007654--1.18009480) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18007654--1.18009480) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69246018-1.69250811) × cos(-1.18007654) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.380854053906962 × 6371000     		do = 116.298367034292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69246018-1.69250811) × cos(-1.18009480) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.380837170005343 × 6371000     		du = 116.293211331819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18007654)-sin(-1.18009480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380854053906962-0.380837170005343)×R²
    abs(1.69250811-1.69246018)×1.68839016181921e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.68839016181921e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.68839016181921e-05×40589641000000     		ar = 13529.2078352175m²