Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100841 / 99337
↖ ↑ ↗
← S 67.618635°
E 96.968079°		 ← 116.30 m → S 67.618635°
E 96.970825°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
S 67.619681°
E 96.968079°		 ← 116.29 m →
13 529 m²		 S 67.619681°
E 96.970825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769359588623047 y=0.757884979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769359588623047 × 217)
    floor (0.769359588623047 × 131072)
    floor (100841.5)     		tx = 100841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757884979248047 × 217)
    floor (0.757884979248047 × 131072)
    floor (99337.5)     		ty = 99337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100841 / 99337 ti = "17/100841/99337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100841/99337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100841 ÷ 217
    100841 ÷ 131072     		x = 0.769355773925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99337 ÷ 217
    99337 ÷ 131072     		y = 0.757881164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769355773925781 × 2 - 1) × π
    0.538711547851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.69241224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757881164550781 × 2 - 1) × π
    -0.515762329101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.62031514405752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69241224} λ = 1.69241224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62031514405752))-π/2
    2×atan(0.197836342310807)-π/2
    2×0.195314256762877-π/2
    0.390628513525754-1.57079632675     		φ = -1.18016781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69241224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.968079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18016781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.618635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100841 KachelY 99337 1.69241224 -1.18016781 96.968079 -67.618635
    Oben rechts KachelX + 1 100842 KachelY 99337 1.69246018 -1.18016781 96.970825 -67.618635
    Unten links KachelX 100841 KachelY + 1 99338 1.69241224 -1.18018607 96.968079 -67.619681
    Unten rechts KachelX + 1 100842 KachelY + 1 99338 1.69246018 -1.18018607 96.970825 -67.619681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18016781--1.18018607) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18016781--1.18018607) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69241224-1.69246018) × cos(-1.18016781) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380769660869209 × 6371000     		do = 116.29685544099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69241224-1.69246018) × cos(-1.18018607) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380752776332948 × 6371000     		du = 116.291698469007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18016781)-sin(-1.18018607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380769660869209-0.380752776332948)×R²
    abs(1.69246018-1.69241224)×1.68845362613634e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68845362613634e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68845362613634e-05×40589641000000     		ar = 13529.0319110237m²