Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100841 / 98988
↖ ↑ ↗
← S 67.250810°
E 96.968079°		 ← 118.11 m → S 67.250810°
E 96.970825°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
S 67.251872°
E 96.968079°		 ← 118.10 m →
13 950 m²		 S 67.251872°
E 96.970825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769359588623047 y=0.755222320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769359588623047 × 217)
    floor (0.769359588623047 × 131072)
    floor (100841.5)     		tx = 100841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755222320556641 × 217)
    floor (0.755222320556641 × 131072)
    floor (98988.5)     		ty = 98988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100841 / 98988 ti = "17/100841/98988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100841/98988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100841 ÷ 217
    100841 ÷ 131072     		x = 0.769355773925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98988 ÷ 217
    98988 ÷ 131072     		y = 0.755218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769355773925781 × 2 - 1) × π
    0.538711547851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.69241224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.51043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60358516609012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69241224} λ = 1.69241224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60358516609012))-π/2
    2×atan(0.201173981425353)-π/2
    2×0.198524132871204-π/2
    0.397048265742408-1.57079632675     		φ = -1.17374806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69241224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.968079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17374806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.250810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100841 KachelY 98988 1.69241224 -1.17374806 96.968079 -67.250810
    Oben rechts KachelX + 1 100842 KachelY 98988 1.69246018 -1.17374806 96.970825 -67.250810
    Unten links KachelX 100841 KachelY + 1 98989 1.69241224 -1.17376660 96.968079 -67.251872
    Unten rechts KachelX + 1 100842 KachelY + 1 98989 1.69246018 -1.17376660 96.970825 -67.251872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17374806--1.17376660) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dl = 118.118339999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17374806--1.17376660) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dr = 118.118339999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69241224-1.69246018) × cos(-1.17374806) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.386697923489652 × 6371000     		do = 118.10749943876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69241224-1.69246018) × cos(-1.17376660) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.386680825715816 × 6371000     		du = 118.102277338534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17374806)-sin(-1.17376660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386697923489652-0.386680825715816)×R²
    abs(1.69246018-1.69241224)×1.70977738364608e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70977738364608e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70977738364608e-05×40589641000000     		ar = 13950.3533626714m²