Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100840 / 98276
↖ ↑ ↗
← S 66.482592°
E 96.965332°		 ← 121.87 m → S 66.482592°
E 96.968079°		 →
↑
121.88 m
↓
↑
121.88 m
↓
S 66.483688°
E 96.965332°		 ← 121.87 m →
14 853 m²		 S 66.483688°
E 96.968079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769351959228516 y=0.749790191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769351959228516 × 217)
    floor (0.769351959228516 × 131072)
    floor (100840.5)     		tx = 100840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749790191650391 × 217)
    floor (0.749790191650391 × 131072)
    floor (98276.5)     		ty = 98276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100840 / 98276 ti = "17/100840/98276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100840/98276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100840 ÷ 217
    100840 ÷ 131072     		x = 0.76934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98276 ÷ 217
    98276 ÷ 131072     		y = 0.749786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76934814453125 × 2 - 1) × π
    0.5386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69236430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.49957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56945409356064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69236430} λ = 1.69236430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56945409356064))-π/2
    2×atan(0.208158786567561)-π/2
    2×0.205228097275993-π/2
    0.410456194551986-1.57079632675     		φ = -1.16034013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69236430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16034013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.482592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100840 KachelY 98276 1.69236430 -1.16034013 96.965332 -66.482592
    Oben rechts KachelX + 1 100841 KachelY 98276 1.69241224 -1.16034013 96.968079 -66.482592
    Unten links KachelX 100840 KachelY + 1 98277 1.69236430 -1.16035926 96.965332 -66.483688
    Unten rechts KachelX + 1 100841 KachelY + 1 98277 1.69241224 -1.16035926 96.968079 -66.483688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16034013--1.16035926) × R
    1.91299999998673e-05 × 6371000     		dl = 121.877229999155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16034013--1.16035926) × R
    1.91299999998673e-05 × 6371000     		dr = 121.877229999155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69236430-1.69241224) × cos(-1.16034013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39902767407142 × 6371000     		do = 121.873322633662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69236430-1.69241224) × cos(-1.16035926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399010132957575 × 6371000     		du = 121.867965125986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16034013)-sin(-1.16035926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39902767407142-0.399010132957575)×R²
    abs(1.69241224-1.69236430)×1.75411138457759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75411138457759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75411138457759e-05×40589641000000     		ar = 14853.2564945945m²